اللوغاريتمات

اللوغاريتمات

بدأنا مقالنا السابق حول المعادلات الأسية بالمعادلة 2 x= 8. كان كل شيء واضحًا هناك: س = 3.

الآن ضع في اعتبارك المعادلة 2 x= 7.

وفقًا للرسم البياني للدالة y = 2 xنرى أن هذه المعادلة لها جذر ، بالإضافة إلى الجذر الوحيد.

من الواضح أن هذا الجذر ليس عددًا صحيحًا (منذ 2 2= 4 ، 2 3= 8). علاوة على ذلك ، اتضح أنه ليس حتى رقمًا منطقيًا ، أي أنه لا يمكن تمثيله ككسر عادي. حدسيًا ، نشعر فقط أنه أقل من 3 ، لكن ليس كثيرًا.

هذا الجذر هو سجل 27 (يقرأ: "لوغاريتم من سبعة إلى الأساس اثنين". إنه رقم غير نسبي ، أي كسر عشري غير متناهٍ غير دوري. تعطي الآلة الحاسبة: log 27 = 2.807354922057604107 ...

إذن ، رقمنا هو السجل 27 هو الأس الذي يجب رفع 2 إليه للحصول على 7.

نعطي الآن تعريفًا عامًا للوغاريتم. دع a> 0 و a 1 (الشروط هي نفسها بالنسبة لقاعدة الدالة الأسية).

تعريف. لوغاريتم رقم موجب ب للقاعدة a (يُشار إليه بالسجل aب) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b.

بعبارة أخرى،

على سبيل المثال:

لان

، لان

لان ;

، لان .

يسمى اللوغاريتم الأساسي 10 عدد عشري ويشار إليه بواسطة lg. على سبيل المثال ، lg 100 = 2 ، lg 1000 = 3 ، lg 0.01 = −2.

يسمى اللوغاريتم ذو الأساس e طبيعي >> صفة ويشار إليه بواسطة ln.

يرجى ملاحظة: اللوغاريتم يتم تعريفه فقط للأرقام الموجبة. والسبب هو أن الدالة الأسية يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة فقط. على سبيل المثال ، سجل الأرقام 2(−4) غير موجود: بغض النظر عن مقدار زيادتنا 2 ، فلن نحصل على 4 أبدًا.

لا تنس أيضًا القيود المفروضة على أساس اللوغاريتم: 0 <a <1 أو a> 1.

الصيغ الأساسية

بحكم التعريف ، سجل ab هو الأس الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على الرقم b:

الصيغة (1) تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية إليك طريقة أخرى لكتابة الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

سجل aax= س.

دعونا نسرد خصائص اللوغاريتمات. إنها عواقب بسيطة لقواعد القوة. تعتبر جميع اللوغاريتمات أدناه محددة.

لوغاريتم المنتج هو مجموع اللوغاريتمات:

سجل a(قبل الميلاد) = سجل aب + سجل aج. (2)

لوغاريتم حاصل القسمة هو الفرق بين اللوغاريتمات:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

أس اللوغاريتم "يقفز" أمام اللوغاريتم:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} ب(أربعة)

أس أساس اللوغاريتم أيضًا "يقفز" ، ولكن في شكل رقم معكوس:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} ب(خمسة)

تعطي الصيغتان (4) و (5) معًا:

(6)

على وجه الخصوص ، إذا كانت m = n ، نحصل على الصيغة:

(7)

على سبيل المثال، .

أخيرًا ، أهم معادلة للانتقال إلى مؤسسة جديدة:

(8)

على وجه الخصوص ، إذا كان ج = ب ، ثم سجل bب = 1 ، ثم:

(9)

فيما يلي بعض الأمثلة من بنك العمل. واحد. (الصيغة المطبقة (2) مجموع اللوغاريتمات).

2. (طبق الهوية اللوغاريتمية الأساسية (1))

3. السجل ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (السجل _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (السجل _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(طبقنا الصيغة (4).

أربعة. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(الصيغة المطبقة (9) ، الانتقال إلى قاعدة جديدة 0.8).

خمسة. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(الصيغة التطبيقية (3) اختلاف اللوغاريتمات)

القليل من التاريخ

أنت الآن تفهم ما هي اللوغاريتمات وكيفية استخدامها. ولكن ما الغرض منها؟ أم أنها مجرد لعبة رياضيات مع تعليمات ذكية للاستخدام؟

ظهر مفهوم اللوغاريتم والجداول اللوغاريتمية في القرن السابع عشر ، وكانت أهميتها هائلة.

في هذه الأيام ، الحسابات ليست صعبة - فكل شخص لديه آلة حاسبة. وماذا كان يؤخذ في الاعتبار في أوقات "ما قبل الكمبيوتر"؟

كان من الممكن الجمع والطرح على العداد ، ولكن الضرب والقسمة "في عمود" كان بطيئًا وصعبًا.

في القرنين الخامس عشر والسابع عشر ، في عصر الاكتشافات الجغرافية العظيمة ، بدأت التجارة والاقتصاد والعلوم في التطور بسرعة. نمت متطلبات الرياضيات: أصبحت الحسابات أكثر تعقيدًا ، والدقة - على سبيل المثال ، لحل مشاكل الملاحة - كانت بحاجة إلى المزيد والمزيد من الدقة.

كانت هناك حاجة إلى أداة لتبسيط الحسابات وتسريعها ، وكانت اللوغاريتمات بمثابة أداة.

افترض أن b و c عددان كبيران يجب ضربهما. أدى ظهور جداول اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، مع الأساس 10) إلى تبسيط هذه المهمة إلى حد كبير. الآن كان كافياً للآلة الحاسبة أن تجد اللوغاريتمات العشرية للأرقام b و c من الجدولين ، وتضيفها (على العداد) وتحصل على لوغاريتم المنتج: lgb + lgc = lg (bc).

ثم ، باستخدام جدول اللوغاريتمات ، أوجد حاصل ضرب العددين ب وج.

لا عجب أن عالم الرياضيات والفلك الفرنسي لابلاس قال إن اختراع اللوغاريتمات أدى إلى إطالة عمر الآلات الحاسبة. لم تكن قاعدة الشريحة (التي استخدمها المهندسون حتى السبعينيات من القرن العشرين) اختراعًا تقدميًا أقل من الآلة الحاسبة الحديثة.

ولكن هذا ليس كل شيء! لن نتعامل مع اللوغاريتمات إذا كانت لها قيمة تاريخية فقط ، "متحف". سنتحدث عن التطبيقات غير المتوقعة للوغاريتمات في المقالة التالية حول الوظيفة اللوغاريتمية.

لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية مهمة دون معرفة القواعد الخاصة باللوغاريتمات. أو بالأحرى الخصائص الرئيسية. لحسن الحظ ، لا يوجد الكثير من هذه الخصائص ولن يكون من الصعب تعلمها. لكن عليك أن تعرفهم من اليسار إلى اليمين وفي الاتجاه المعاكس.

المصدر: Yandex
المصدر: Yandex

دعنا نفكر في الخصائص الفردية بمزيد من التفصيل:

  • صفر لوغاريتمي. خاصية أولية يجب تذكرها. مهما كانت قاعدة اللوغاريتم ، إذا كانت الوسيطة 1 ، فإن اللوغاريتم يكون دائمًا 0.
  • وحدة لوغاريتمية. خاصية أخرى بسيطة: إذا كانت الوسيطة وأساس اللوغاريتم متطابقتين ، فإن قيمة اللوغاريتم ستكون مساوية للواحد.
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
  • الهوية اللوغاريتمية الأساسية. خاصية ممتازة تحول تعبيرًا من أربعة طوابق إلى ب. جوهر هذه الصيغة: القاعدة أ ، المرفوعة إلى أس اللوغاريتم بالقاعدة أ ، ستساوي ب.
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
  • مجموع اللوغاريتمات. عند ضرب الأرقام اللوغاريتمية ، يمكنك جعلها مجموع 2 لوغاريتمين ، والتي سيكون لها نفس الأساس. وهكذا تصبح اللوغاريتمات غير القابلة للحوسبة بسيطة.
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
  • لوغاريتم حاصل القسمة. الوضع هنا مشابه لمجموع اللوغاريتمات. عند قسمة الأعداد ، نحصل على الفرق بين لوغاريتمين لهما نفس الأساس.
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
دعاية
دعاية
لا يستطيع كل طالب قضاء فصل دراسي في الجامعة 100000 ... لكن من الرائع أن يكون هناك منح ليدرس. جرانت-نا-vuz.rf هذا هو فرصة الدراسة في التخصص المطلوب. نهاية لهذه الغاية سيحصل الجميع على مكافأة من 300 قبل 100000 منحة في university.rf
  • إزالة الأس من اللوغاريتم. يتم تطبيق ما يصل إلى 3 قواعد هنا. الأمر بسيط: إذا كانت الدرجة في أساس أو وسيطة اللوغاريتم ، فيمكن نقلها خارج اللوغاريتم ، وفقًا لهذه الصيغ:
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex
  • الصيغ للانتقال إلى قاعدة جديدة. إنها ضرورية للتعبيرات ذات اللوغاريتمات ، والتي لها قواعد مختلفة. تُستخدم هذه الصيغ بشكل أساسي لحل المتباينات والمعادلات اللوغاريتمية.
المصدر: Yandex
المصدر: Yandex

تنطبق الخاصية الثانية عندما يتم تبديل وسيطة اللوغاريتم وأساسه ، ويتم نقل اللوغاريتم إلى المقام.

دعاية
دعاية
نذكرك بالخدمة منحة في university.rf ... لا تفوت فرصتك لمعرفة ما تريد. حسنًا ، أو ادخر المال في المدرسة. سوف تحصل بالتأكيد من 300 قبل 100000 ₽ ، من خلال النقر على الرابط منحة في university.rf !

لقد غطينا الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الآن لن تظل متباينة أو معادلة واحدة بدون حل ؛)

شكرا لقرائتك المجلة. لا تنسى الاشتراك في القناة وانصح ايضا بقراءة قناة اصدقائنا:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - أحدث الإنجازات العلمية وأفضل الممارسات التربوية.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - التعليم العالي الأوروبي. شركة دولية تقدم خدمات الاستشارات والمرافقة والمعلومات في مجال التعليم العالي في أوروبا. موقع رسمي - https://eurounis.com .
أتمنى لك يومًا سعيدًا ولا تمرض.

Добавить комментарий