Logaritmy

Logaritmy

Náš předchozí článek o exponenciálních rovnicích jsme začali rovnicí 2 x= 8. Všechno tam bylo jasné: x = 3.

Nyní zvažte rovnici 2 x= 7.

Podle grafu funkce y = 2 xvidíme, že tato rovnice má kořen a navíc jedinou.

Je zřejmé, že tento kořen není celé číslo (od 2 2= 4, 2 3= 8). Navíc se ukazuje, že to není ani racionální číslo, to znamená, že jej nelze reprezentovat jako obyčejný zlomek. Intuitivně cítíme jen to, že je to méně než 3, ale ne moc.

Tento kořen je označen jako log 27 (zní: „logaritmus základna dva.“ Je to iracionální číslo, tj. Nekonečný neperiodický desetinný zlomek. Kalkulačka dává: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Naše číslo je tedy log 27 je exponent, na který musí být 2 zvýšeno, aby bylo 7.

Nyní uvádíme obecnou definici logaritmu. Nechť a> 0 a a ≠ 1 (podmínky jsou stejné jako pro základ exponenciální funkce).

Definice. Logaritmus kladného čísla b založit a (označeno log ab) je exponent, na kterého musí být a zvýšeno, aby se dostalo b.

Jinými slovy,

Například:

protože

, protože

protože ;

, protože .

Je volána logaritmická základna 10 desetinný a je označen lg. Například lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritmus se základnou e se nazývá přírodní a je označen ln.

Poznámka: logaritmus je definován pouze pro kladná čísla. Důvodem je, že exponenciální funkce může nabývat pouze kladných hodnot. Například číselný protokol 2(−4) neexistuje: bez ohledu na to, jaký stupeň zvýšíme 2, nikdy nedostaneme −4.

Nezapomeňte na omezení na základě logaritmu: 0 <a <1 nebo a> 1.

Základní vzorce

Podle definice se přihlaste ab je exponent, na kterého musí být číslo a zvýšeno, aby bylo získáno číslo b:

Volá se vzorec (1) základní logaritmická identita Zde je další způsob, jak napsat základní logaritmickou identitu:

log aax= x.

Uveďme seznam vlastností logaritmů. Jsou to jednoduché důsledky mocenských pravidel. Všechny níže uvedené logaritmy jsou považovány za určité.

Logaritmus produktu je součtem logaritmů:

log a(bc) = log ab + log aC. (2)

Logaritmus kvocientu je rozdíl mezi logaritmy:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Exponent logaritmu „skočí“ před logaritmus:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(čtyři)

Exponent základny logaritmu také „skočí“, ale ve formě inverzního čísla:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(Pět)

Vzorce (4) a (5) společně dávají:

(6)

Zejména pokud m = n, dostaneme vzorec:

(7)

Například, .

A konečně nejdůležitější vzorec pro přechod na nový základ:

(8)

Zejména pokud c = b, pak se přihlaste bb = 1 a poté:

(9)

Zde je několik příkladů z pracovní banky. jeden. (použitý vzorec (2) součet logaritmů).

2. (použita základní logaritmická identita (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(použitý vzorec (4).

čtyři. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0,8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0,8} 1,25} {log_ {0,8} 3} = log_ {0,8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(aplikovaný vzorec (9), přechod na nový základ 0,8).

Pět. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(použitý vzorec (3) rozdíl logaritmů)

Trochu historie

Nyní chápete, co jsou logaritmy a jak je používat. Ale k čemu jsou? Nebo je to jen matematická hračka s chytrým návodem k použití?

Koncept logaritmu a logaritmické tabulky se objevil v 17. století a jejich význam byl obrovský.

V dnešní době nejsou výpočty obtížné - každý má kalkulačku. A o čem se uvažovalo v době „před počítačem“?

Na počítadle bylo možné sčítat a odčítat, ale množení a dělení „ve sloupci“ bylo pomalé a obtížné.

V 15. - 17. století, v době velkých geografických objevů, se rychle začal rozvíjet obchod, ekonomika a věda. Požadavky na matematiku rostly: výpočty se staly složitějšími a stále více a více byla zapotřebí přesnost - například při řešení navigačních problémů.

K zjednodušení a zrychlení výpočtů byl zapotřebí nástroj a logaritmy byly takovým nástrojem.

Předpokládejme, že b a c jsou velká čísla, která je třeba znásobit. Příchod tabulek logaritmů (například se základnou 10) tento úkol výrazně zjednodušil. Teď stačilo, aby kalkulačka našla desítkové logaritmy čísel bac z tabulek, přidala je (na počitadle) a získala logaritmus produktu: lgb + lgc = lg (bc).

A pak pomocí tabulky logaritmů najděte samotný součin čísel b a c.

Není divu, že francouzský matematik a astronom Laplace řekl, že vynález logaritmů prodloužil životnost kalkulaček. Pravidlo diapozitivu (které inženýři používali až do 70. let dvacátého století) nebylo o nic méně pokrokovým vynálezem než moderní kalkulačka.

Ale to není vše! Logaritmy bychom se nezabývali, kdyby měly pouze historickou „muzeální“ hodnotu. O neočekávaných aplikacích logaritmů si povíme v dalším článku o logaritmické funkci.

Jakýkoli významný logaritmický problém nelze vyřešit bez znalosti zvláštních pravidel logaritmů. Nebo spíše hlavní vlastnosti. Naštěstí těchto vlastností není mnoho a nebude těžké se je naučit. Musíte je však znát zleva doprava i opačným směrem.

zdroj: Yandex
zdroj: Yandex

Zvažme jednotlivé vlastnosti podrobněji:

  • Logaritmická nula. Základní vlastnost, kterou si musíme pamatovat. Ať už je základ logaritmu jakýkoli, je-li argument 1, pak je logaritmus vždy 0.
  • Logaritmická jednotka. Další jednoduchá vlastnost: jsou-li argument a základ logaritmu stejné, pak se hodnota logaritmu bude rovnat jedné.
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
  • Základní logaritmická identita. Vynikající vlastnost, která promění čtyřpodlažní výraz na velmi základní b. Podstata tohoto vzorce: báze a, povýšená na sílu logaritmu se základnou a, se bude rovnat b.
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
  • Součet logaritmů. Když vynásobíte čísla logaritmu, můžete z nich vytvořit součet 2 logaritmů, které budou mít stejný základ. A tak se nevyčíslitelné logaritmy stávají jednoduchými.
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
  • Logaritmus kvocientu. Zde je situace podobná součtu logaritmů. Při dělení čísel dostaneme rozdíl dvou logaritmů se stejnou základnou.
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
Reklamní
Reklamní
Ne každý student si může dovolit strávit semestr na univerzitě 100 000 ₽ ... Ale je v pohodě, že existuje granty studovat. Grant-na-vuz.rf tohle je možnost studovat požadovanou specializaci. Odkaz každý dostane bonus od 300 ₽ před 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Odstranění exponenta z logaritmu. Platí zde až 3 pravidla. Je to jednoduché: pokud je stupeň základem nebo argumentem logaritmu, lze jej přesunout mimo logaritmus podle těchto vzorců:
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex
  • Vzorce pro přechod na nový základ. Jsou potřebné pro výrazy s logaritmy, které mají různé základy. Takové vzorce se používají hlavně k řešení logaritmických nerovnic a rovnic.
zdroj: Yandex
zdroj: Yandex

Druhá vlastnost platí, když jsou argument a základna logaritmu zaměněny a logaritmus je přenesen do jmenovatele.

Reklamní
Reklamní
Připomínáme vám tuto službu grant-at-university.rf ... Nenechte si ujít příležitost dozvědět se, co se vám líbí. No, nebo jen ušetřit peníze na škole. Určitě dostanete z 300 ₽ před 100 000 ₽, kliknutím na odkaz grant-at-university.rf !

Pokryli jsme základní vlastnosti logaritmů. Nyní nezůstane nevyřešena ani jedna nerovnost nebo rovnice;)

Děkujeme za přečtení článku. Nezapomeňte na přihlášení k odběru kanálu a také doporučuji přečíst si kanál našich přátel:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - nejnovější vědecké úspěchy a nejlepší vzdělávací postupy.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EVROPSKÉ VYSOKÉ VZDĚLÁVÁNÍ. Mezinárodní společnost poskytující poradenské, doprovodné a informační služby v oblasti vysokoškolského vzdělávání v Evropě. Oficiální stránka - https://eurounis.com .
Přeji hezký den a nebuďte nemocní.

Добавить комментарий