Logaritmer

Logaritmer

Vi startede vores tidligere artikel om eksponentielle ligninger med ligning 2 x= 8. Alt var klart der: x = 3.

Overvej nu ligningen 2 x= 7.

I henhold til grafen for funktionen y = 2 xvi ser, at denne ligning har en rod og desuden den eneste.

Det er klart, at denne rod ikke er et heltal (siden 2 2= 4, 2 3= 8). Desuden viser det sig, at det ikke engang er et rationelt tal, det vil sige, det kan ikke repræsenteres som en almindelig brøkdel. Intuitivt føler vi kun, at det er mindre end 3, men ikke meget.

Denne rod er betegnet log 27 (lyder: "logaritme på syv til base to." Det er et irrationelt tal, det vil sige en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk. Regnemaskinen giver: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Så vores nummer er log 27 er eksponenten, som 2 skal hæves for at få 7.

Vi giver nu en generel definition af logaritmen. Lad a> 0 og a ≠ 1 (betingelserne er de samme som for bunden af ​​den eksponentielle funktion).

Definition. Logaritme med et positivt tal b til base a (betegnet med log ab) er eksponenten, som et skal hæves for at få b.

Med andre ord,

For eksempel:

fordi

, fordi

fordi ;

, fordi .

Logaritmebase 10 kaldes decimal og er betegnet med lg. For eksempel, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = -2.

Logaritmen med base e kaldes naturlig og er betegnet med ln.

Bemærk: logaritmen er kun defineret for positive tal. Årsagen er, at den eksponentielle funktion kun kan tage positive værdier. For eksempel nummerloggen 2(−4) findes ikke: uanset hvor meget vi hæver 2, får vi aldrig −4.

Glem ikke også begrænsningerne på basen af ​​logaritmen: 0 <a <1 eller a> 1.

Grundlæggende formler

Per definition log ab er den eksponent, som tallet a skal hæves for at få tallet b:

Formel (1) kaldes grundlæggende logaritmisk identitet Her er en anden måde at skrive den grundlæggende logaritmiske identitet på:

log aax= x.

Lad os liste logaritmernes egenskaber. De er enkle konsekvenser af magtreglerne. Alle logaritmer nedenfor betragtes som bestemte.

Produktets logaritme er summen af ​​logaritmerne:

log a(bc) = log ab + log ac. (2)

Logaritmen for kvotienten er forskellen mellem logaritmerne:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Eksponenten for logaritmen "springer" foran logaritmen:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(fire)

Eksponenten af ​​logaritmens basis "springer" også, men i form af et omvendt tal:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(fem)

Formlerne (4) og (5) giver sammen:

(6)

Især hvis m = n, får vi formlen:

(7)

For eksempel, .

Endelig den vigtigste formel for overgangen til et nyt fundament:

(8)

Især hvis c = b, så log bb = 1, og derefter:

(9)

Her er nogle eksempler fra jobbanken. en. (anvendt formel (2) summen af ​​logaritmer).

2. (anvendt den grundlæggende logaritmiske identitet (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(vi anvendte formel (4).

fire. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(anvendt formel (9), overgår til en ny base 0,8).

fem. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(anvendt formel (3) forskellen mellem logaritmer)

En smule historie

Nu forstår du, hvad logaritmer er, og hvordan du bruger dem. Men hvad er de til? Eller er det bare et matematiklegetøj med smarte brugsanvisninger?

Konceptet med en logaritme og logaritmiske tabeller dukkede op i det 17. århundrede, og deres betydning var enorm.

I disse dage er beregninger ikke vanskelige - alle har en lommeregner. Og hvad blev betragtet i "præ-computer" gange?

Det var muligt at tilføje og trække abacus, men at formere sig og dele "i en kolonne" var langsom og vanskelig.

I det 15-17. århundrede, i en periode med store geografiske opdagelser, begyndte handel, økonomi og videnskab at udvikle sig hurtigt. Kravene til matematik voksede: beregningerne blev mere komplekse, og nøjagtigheden - for eksempel til løsning af navigationsproblemer - havde brug for mere og mere høj.

Et værktøj var nødvendigt for at forenkle og fremskynde beregningerne, og logaritmer var et sådant værktøj.

Antag, at b og c er store tal, der skal ganges. Fremkomsten af ​​tabeller over logaritmer (for eksempel med base 10) har i høj grad forenklet denne opgave. Nu var det nok for lommeregneren at finde decimallogaritmerne for tallene b og c fra tabellerne, tilføje dem (på abacus) og få logaritmen til produktet: lgb + lgc = lg (bc).

Og find derefter selve produktet af tallene b og c ved hjælp af logaritmitabellen.

Ikke underligt, at den franske matematiker og astronom Laplace sagde, at opfindelsen af ​​logaritmer forlængede lommeregnernes levetid. Slidreglen (som ingeniører brugte indtil 70'erne i det tyvende århundrede) var ikke mindre progressiv opfindelse end den moderne lommeregner.

Men det er ikke alt! Vi ville ikke beskæftige os med logaritmer, hvis de kun havde historisk "museum" -værdi. Vi vil tale om uventede anvendelser af logaritmer i den næste artikel om den logaritmiske funktion.

Ethvert væsentligt logaritmisk problem kan ikke løses uden at kende de særlige regler for logaritmer. Eller rettere de vigtigste egenskaber. Heldigvis er der ikke mange af disse egenskaber, og det vil ikke være svært at lære dem. Men du skal kende dem begge fra venstre mod højre og i den modsatte retning.

kilde: Yandex
kilde: Yandex

Lad os overveje individuelle egenskaber mere detaljeret:

  • Logaritmisk nul. En elementær egenskab, der skal huskes. Uanset logaritmens basis, hvis argumentet er 1, så er logaritmen altid 0.
  • Logaritmisk enhed. En anden simpel egenskab: hvis argumentet og basen for logaritmen er den samme, så er logaritmens værdi lig med en.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Grundlæggende logaritmisk identitet. Fremragende egenskab, der gør et fire-etagers udtryk til et meget grundlæggende b. Essensen af ​​denne formel: basen a, hævet til logaritmens kraft med basen a, vil være lig med b.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Summen af ​​logaritmer. Når du multiplicerer logaritmetal, kan du lave summen af ​​dem på 2 logaritmer, som har samme base. Og så bliver de uberegnelige logaritmer enkle.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Logaritme for kvotienten. Her svarer situationen til summen af ​​logaritmer. Når vi deler tal, får vi forskellen på to logaritmer med samme base.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
Annoncering
Annoncering
Ikke alle studerende har råd til at tilbringe et semester på et universitet 100 000 ₽ ... Men det er sejt, at der er bevillinger at studere. Grant-na-vuz.rf dette er muligheden for at studere i den ønskede specialitet. Link alle vil modtage en bonus fra 300 ₽ Før 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Fjernelse af eksponenten fra logaritmen. Så mange som 3 regler gælder her. Det er simpelt: Hvis graden er ved logaritmens basis eller argument, kan den flyttes uden for logaritmen i overensstemmelse med disse formler:
kilde: Yandex
kilde: Yandex
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Formler til overgangen til en ny base. De er nødvendige for udtryk med logaritmer, som har forskellige baser. Sådanne formler bruges hovedsageligt til at løse logaritmiske uligheder og ligninger.
kilde: Yandex
kilde: Yandex

Den anden egenskab gælder, når argumentet og basen for logaritmen byttes, og logaritmen overføres til nævneren.

Annoncering
Annoncering
Vi minder dig om tjenesten grant-at-university.rf ... Gå ikke glip af din chance for at lære, hvad du kan lide. Nå, eller bare spar penge på skolen. Du får helt sikkert fra 300 ₽ Før 100 000 ₽, ved at klikke på linket grant-at-university.rf !

Vi har dækket de grundlæggende egenskaber ved logaritmer. Nu forbliver ikke en enkelt ulighed eller ligning uløst;)

Tak, fordi du læste artiklen. Glem ikke at abonnere på kanalen, og jeg anbefaler også at læse vores venners kanal:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - de nyeste videnskabelige præstationer og den bedste uddannelsesmæssige praksis.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPÆISK HØJERE UDDANNELSE. En international virksomhed, der leverer konsulent-, ledsagnings- og informationstjenester inden for videregående uddannelse i Europa. Officiel side - https://eurounis.com .
Hav en dejlig dag og bliv ikke syg.

Добавить комментарий