Logarithmen

Logarithmen

Wir haben unseren vorherigen Artikel über Exponentialgleichungen mit Gleichung 2 begonnen x= 8. Dort war alles klar: x = 3.

Betrachten Sie nun die Gleichung 2 x= 7.

Nach dem Diagramm der Funktion y = 2 xwir sehen, dass diese Gleichung eine Wurzel hat und darüber hinaus die einzige.

Es ist klar, dass diese Wurzel keine ganze Zahl ist (seit 2 2= 4, 2 3= 8). Darüber hinaus stellt sich heraus, dass es sich nicht einmal um eine rationale Zahl handelt, das heißt, sie kann nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Intuitiv haben wir nur das Gefühl, dass es weniger als 3 ist, aber nicht viel.

Diese Wurzel wird als Protokoll bezeichnet 27 (lautet: „Logarithmus von sieben zu Basis zwei“. Es ist eine irrationale Zahl, dh ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch. Der Rechner gibt an: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Unsere Nummer ist also log 27 ist der Exponent, auf den 2 angehoben werden muss, um 7 zu erhalten.

Wir geben nun eine allgemeine Definition des Logarithmus. Sei a> 0 und a ≠ 1 (die Bedingungen sind die gleichen wie für die Basis der Exponentialfunktion).

Definition. Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (bezeichnet mit log ab) ist der Exponent, zu dem a angehoben werden muss, um b zu erhalten.

Mit anderen Worten,

Zum Beispiel:

als

, als

als ;

, als .

Die Logarithmusbasis 10 wird aufgerufen Dezimal und wird mit lg bezeichnet. Zum Beispiel ist lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = –2.

Der Logarithmus mit der Basis e heißt natürlich und wird mit ln bezeichnet.

Bitte beachten Sie: Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Der Grund ist, dass die Exponentialfunktion nur positive Werte annehmen kann. Zum Beispiel das Nummernprotokoll 2(−4) existiert nicht: Egal wie viel wir 2 erhöhen, wir werden niemals −4 bekommen.

Vergessen Sie auch nicht die Einschränkungen auf der Basis des Logarithmus: 0 <a <1 oder a> 1.

Grundformeln

Per Definition protokollieren ab ist der Exponent, auf den die Zahl a angehoben werden muss, um die Zahl b zu erhalten:

Formel (1) heißt logarithmische Grundidentität Hier ist eine andere Möglichkeit, die logarithmische Grundidentität zu schreiben:

Log aax= x.

Lassen Sie uns die Eigenschaften von Logarithmen auflisten. Sie sind einfache Konsequenzen der Machtregeln. Alle folgenden Logarithmen gelten als eindeutig.

Der Logarithmus des Produkts ist die Summe der Logarithmen:

Log a(bc) = log ab + log ac. (2)

Der Logarithmus des Quotienten ist die Differenz zwischen den Logarithmen:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Der Exponent des Logarithmus "springt" vor dem Logarithmus:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(vier)

Der Exponent der Basis des Logarithmus "springt" ebenfalls, jedoch in Form einer umgekehrten Zahl:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(fünf)

Die Formeln (4) und (5) ergeben zusammen:

(6)

Insbesondere wenn m = n ist, erhalten wir die Formel:

(7)

Zum Beispiel, .

Schließlich die wichtigste Formel für den Übergang zu einer neuen Stiftung:

(8)

Insbesondere wenn c = b, dann log bb = 1 und dann:

(9)

Hier einige Beispiele aus der Jobbank. einer. (angewandte Formel (2) die Summe der Logarithmen).

2. (wendete die logarithmische Grundidentität an (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(Wir haben Formel (4) angewendet.

vier. log_ {0,8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0,8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0,8} 1,25} {log_ {0,8} 3} = log_ {0,8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(angewandte Formel (9), die auf eine neue Basis von 0,8 übergeht).

fünf. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(angewandte Formel (3) die Differenz der Logarithmen)

Ein bisschen Geschichte

Jetzt verstehen Sie, was Logarithmen sind und wie Sie sie verwenden. Aber wofür sind sie? Oder ist es nur ein Mathe-Spielzeug mit cleveren Gebrauchsanweisungen?

Das Konzept eines Logarithmus und logarithmischer Tabellen erschien im 17. Jahrhundert und ihre Bedeutung war enorm.

Berechnungen sind heutzutage nicht schwierig - jeder hat einen Taschenrechner. Und was wurde in Zeiten vor dem Computer berücksichtigt?

Es war möglich, den Abakus zu addieren und zu subtrahieren, aber das Multiplizieren und Teilen "in einer Spalte" war langsam und schwierig.

Im 15.-17. Jahrhundert, im Zeitalter großer geografischer Entdeckungen, begannen sich Handel, Wirtschaft und Wissenschaft rasch zu entwickeln. Die Anforderungen an die Mathematik wuchsen: Die Berechnungen wurden komplexer, und die Genauigkeit - zum Beispiel zur Lösung von Navigationsproblemen - wurde immer mehr benötigt.

Ein Werkzeug wurde benötigt, um die Berechnungen zu vereinfachen und zu beschleunigen, und Logarithmen waren ein solches Werkzeug.

Angenommen, b und c sind große Zahlen, die multipliziert werden müssen. Das Aufkommen von Logarithmentabellen (zum Beispiel mit Basis 10) hat diese Aufgabe erheblich vereinfacht. Jetzt genügte es dem Rechner, die Dezimallogarithmen der Zahlen b und c aus den Tabellen zu ermitteln, sie (auf dem Abakus) zu addieren und den Logarithmus des Produkts zu erhalten: lgb + lgc = lg (bc).

Und dann finden Sie anhand der Logarithmentabelle das Produkt der Zahlen b und c.

Kein Wunder, dass der französische Mathematiker und Astronom Laplace sagte, die Erfindung der Logarithmen habe die Lebensdauer von Taschenrechnern verlängert. Der Rechenschieber (den die Ingenieure bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts verwendeten) war keine weniger fortschrittliche Erfindung als der moderne Taschenrechner.

Das ist aber noch nicht alles! Wir würden uns nicht mit Logarithmen befassen, wenn sie nur einen historischen "Museumswert" hätten. Wir werden im nächsten Artikel über die logarithmische Funktion über unerwartete Anwendungen von Logarithmen sprechen.

Ein signifikantes logarithmisches Problem kann nicht gelöst werden, ohne die speziellen Regeln der Logarithmen zu kennen. Oder besser gesagt, die Haupteigenschaften. Glücklicherweise gibt es nicht viele dieser Eigenschaften und es wird nicht schwierig sein, sie zu erlernen. Aber Sie müssen sie beide von links nach rechts und in die entgegengesetzte Richtung kennen.

Quelle: Yandex
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Betrachten wir die einzelnen Eigenschaften genauer:

  • Logarithmische Null. Eine elementare Eigenschaft, an die man sich erinnern muss. Unabhängig von der Basis des Logarithmus ist der Logarithmus immer 0, wenn das Argument 1 ist.
  • Logarithmische Einheit. Eine weitere einfache Eigenschaft: Wenn das Argument und die Basis des Logarithmus identisch sind, ist der Wert des Logarithmus gleich eins.
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  • Grundlegende logarithmische Identität. Ausgezeichnete Eigenschaft, die einen vierstöckigen Ausdruck in einen sehr einfachen verwandelt b. Die Essenz dieser Formel: Die Basis a, die mit der Basis a auf die Potenz des Logarithmus angehoben wird, ist gleich b.
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  • Summe der Logarithmen. Wenn Sie Logarithmuszahlen multiplizieren, können Sie daraus die Summe von 2 Logarithmen machen, die dieselbe Basis haben. Und so werden die unkalkulierbaren Logarithmen einfach.
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  • Logarithmus des Quotienten. Hier ähnelt die Situation der Summe der Logarithmen. Beim Teilen von Zahlen erhalten wir die Differenz zweier Logarithmen mit derselben Basis.
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  • Entfernen des Exponenten aus dem Logarithmus. Hier gelten bis zu 3 Regeln. Es ist ganz einfach: Wenn der Grad die Basis oder das Argument des Logarithmus ist, kann er gemäß den folgenden Formeln aus dem Logarithmus verschoben werden:
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  • Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis. Sie werden für Ausdrücke mit Logarithmen benötigt, die unterschiedliche Basen haben. Solche Formeln werden hauptsächlich verwendet, um logarithmische Ungleichungen und Gleichungen zu lösen.
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Die zweite Eigenschaft gilt, wenn das Argument und die Basis des Logarithmus vertauscht werden und der Logarithmus auf den Nenner übertragen wird.

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Wir haben die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen behandelt. Jetzt bleibt keine einzige Ungleichung oder Gleichung ungelöst;)

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