Λογόριθμοι

Λογόριθμοι

Ξεκινήσαμε το προηγούμενο άρθρο μας σχετικά με τις εκθετικές εξισώσεις με την εξίσωση 2 x= 8. Όλα ήταν ξεκάθαρα εκεί: x = 3.

Τώρα εξετάστε την εξίσωση 2 x= 7.

Σύμφωνα με το γράφημα της συνάρτησης y = 2 xβλέπουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει μια ρίζα και, επιπλέον, η μόνη.

Είναι σαφές ότι αυτή η ρίζα δεν είναι ακέραιος (από το 2 2= 4, 2 3= 8). Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι δεν είναι καν ένας λογικός αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα. Διαισθητικά, νιώθουμε μόνο ότι είναι μικρότερο από 3, αλλά όχι πολύ.

Αυτή η ρίζα υποδηλώνεται αρχείο καταγραφής 27 (διαβάζει: «λογάριθμος από επτά έως βάση δύο». Είναι ένας παράλογος αριθμός, δηλαδή, ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Ο υπολογιστής δίνει: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Έτσι, ο αριθμός μας είναι αρχείο καταγραφής 27 είναι ο εκθέτης στον οποίο 2 πρέπει να ανυψωθούν για να πάρει 7.

Δίνουμε τώρα έναν γενικό ορισμό του λογάριθμου. Αφήστε a> 0 και a ≠ 1 (οι συνθήκες είναι οι ίδιες όπως για τη βάση της εκθετικής συνάρτησης).

Ορισμός. Λογόριθμος θετικού αριθμού b στη βάση a (συμβολίζεται με log ab) είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να σηκωθεί για να πάρει b.

Με άλλα λόγια,

Για παράδειγμα:

επειδή

, επειδή

επειδή ;

, επειδή .

Λέγεται λογάριθμος 10 βάση δεκαδικός και δηλώνεται με lg. Για παράδειγμα, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Ο λογάριθμος με τη βάση e ονομάζεται φυσικός και συμβολίζεται με ln.

Παρακαλώ σημειώστε: ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς. Ο λόγος είναι ότι η εκθετική συνάρτηση μπορεί να λάβει μόνο θετικές τιμές. Για παράδειγμα, το αρχείο καταγραφής αριθμών 2(−4) δεν υπάρχει: ανεξάρτητα από το πόσα ανεβάζουμε 2, δεν θα πάρουμε ποτέ −4.

Μην ξεχνάτε επίσης τους περιορισμούς στη βάση του λογάριθμου: 0 <a <1 ή a> 1.

Βασικοί τύποι

Εξ ορισμού, log ab είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να πάρει τον αριθμό b:

Ο τύπος (1) ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα Εδώ είναι ένας άλλος τρόπος για να γράψετε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα:

κούτσουρο aax= x.

Ας απαριθμήσουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Είναι απλές συνέπειες των κανόνων εξουσίας. Όλοι οι παρακάτω λογάριθμοι θεωρούνται οριστικοί.

Ο λογάριθμος του προϊόντος είναι το άθροισμα των λογαρίθμων:

κούτσουρο a(bc) = ημερολόγιο aβ + ημερολόγιο aντο. (2)

Ο λογάριθμος του πηλίκου είναι η διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} γ(3)

Ο εκθέτης του λογάριθμου "πηδάει" μπροστά από τον λογάριθμο:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} β(τέσσερα)

Ο εκθέτης της βάσης του λογάριθμου επίσης "πηδά", αλλά με τη μορφή αντίστροφου αριθμού:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} β(πέντε)

Οι τύποι (4) και (5) δίνουν μαζί:

(6)

Ειδικότερα, εάν m = n, λαμβάνουμε τον τύπο:

(7)

Για παράδειγμα, .

Τέλος, ο πιο σημαντικός τύπος για τη μετάβαση σε ένα νέο ίδρυμα:

(8)

Συγκεκριμένα, εάν c = b, τότε καταγράψτε bb = 1 και μετά:

(9)

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα από την τράπεζα εργασίας. ένας. (εφαρμοσμένος τύπος (2) το άθροισμα των λογαρίθμων).

2. (εφάρμοσε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(εφαρμόσαμε τον τύπο (4).

τέσσερα. log_ {0,8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0,8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0,8} 1,25} {log_ {0,8} 3} = log_ {0,8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(εφαρμοσμένος τύπος (9), περνώντας σε μια νέα βάση 0,8).

πέντε. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(εφαρμοσμένος τύπος (3) η διαφορά των λογαρίθμων)

Λίγη ιστορία

Τώρα καταλαβαίνετε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να τους χρησιμοποιήσετε. Αλλά για τι χρησιμεύουν; Ή είναι απλώς ένα παιχνίδι μαθηματικών με έξυπνες οδηγίες χρήσης;

Η έννοια του λογάριθμου και των λογαριθμικών πινάκων εμφανίστηκε τον 17ο αιώνα και η σημασία τους ήταν τεράστια.

Αυτές τις μέρες, οι υπολογισμοί δεν είναι δύσκολοι - ο καθένας έχει μια αριθμομηχανή. Και τι θεωρήθηκε στους «προ-υπολογιστές» χρόνους;

Ήταν δυνατή η προσθήκη και αφαίρεση στον άβακα, αλλά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση "σε μια στήλη" ήταν αργή και δύσκολη.

Τον 15-17ο αιώνα, στην εποχή των μεγάλων γεωγραφικών ανακαλύψεων, το εμπόριο, τα οικονομικά και η επιστήμη άρχισαν να αναπτύσσονται ραγδαία. Οι απαιτήσεις για τα μαθηματικά αυξήθηκαν: οι υπολογισμοί έγιναν πιο περίπλοκοι και η ακρίβεια, για παράδειγμα, για την επίλυση προβλημάτων πλοήγησης, χρειαζόταν όλο και περισσότερο.

Χρειάστηκε ένα εργαλείο για την απλοποίηση και την επιτάχυνση των υπολογισμών και οι λογάριθμοι ήταν ένα τέτοιο εργαλείο.

Ας υποθέσουμε ότι τα b και c είναι μεγάλοι αριθμοί που πρέπει να πολλαπλασιαστούν. Η εμφάνιση πινάκων λογαρίθμων (για παράδειγμα, με βάση 10) απλοποίησε πολύ αυτήν την εργασία. Τώρα ήταν αρκετό για την αριθμομηχανή να βρει τους δεκαδικούς λογάριθμους των αριθμών b και c από τους πίνακες, να τους προσθέσει (στους λογαριασμούς) και να πάρει τον λογάριθμο του προϊόντος: lgb + lgc = lg (bc).

Και μετά, χρησιμοποιώντας τον πίνακα λογαρίθμων, βρείτε το ίδιο το προϊόν των αριθμών b και c.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Laplace είπε ότι η εφεύρεση των λογαρίθμων επέτεινε τη ζωή των υπολογιστών. Ο κανόνας διαφάνειας (που χρησιμοποίησαν οι μηχανικοί μέχρι τη δεκαετία του '70 του εικοστού αιώνα) δεν ήταν λιγότερο προοδευτική εφεύρεση από τη σύγχρονη αριθμομηχανή.

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Δεν θα ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους εάν είχαν μόνο ιστορική αξία "μουσείου". Θα μιλήσουμε για απροσδόκητες εφαρμογές λογάριθμων στο επόμενο άρθρο σχετικά με τη λογαριθμική συνάρτηση.

Οποιοδήποτε σημαντικό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς να γνωρίζουμε τους ειδικούς κανόνες των λογαρίθμων. Ή μάλλον, οι κύριες ιδιότητες. Ευτυχώς, δεν υπάρχουν πολλές από αυτές τις ιδιότητες και δεν θα είναι δύσκολο να τις μάθετε. Αλλά πρέπει να τα γνωρίζετε τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από την αντίθετη κατεύθυνση.

πηγή: Yandex
πηγή: Yandex

Ας εξετάσουμε μεμονωμένες ιδιότητες με περισσότερες λεπτομέρειες:

  • Λογαριθμικό μηδέν. Μια στοιχειώδης ιδιότητα που πρέπει να θυμάστε. Όποια και αν είναι η βάση του λογάριθμου, εάν το όρισμα είναι 1, τότε ο λογάριθμος είναι πάντα 0.
  • Λογαριθμική μονάδα. Μια άλλη απλή ιδιότητα: εάν το όρισμα και η βάση του λογάριθμου είναι τα ίδια, τότε η τιμή του λογάριθμου θα είναι ίση με μία.
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
  • Βασική λογαριθμική ταυτότητα. Εξαιρετική ιδιοκτησία που μετατρέπει μια τετραώροφη έκφραση σε πολύ βασικό β. Η ουσία αυτού του τύπου: η βάση a, ανυψωμένη στη δύναμη του λογάριθμου με τη βάση a, θα είναι ίση με το b.
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
  • Άθροισμα λογαρίθμων. Όταν πολλαπλασιάζετε τους αριθμούς λογάριθμου, μπορείτε να τους κάνετε το άθροισμα των 2 λογαρίθμων, οι οποίοι θα έχουν την ίδια βάση. Και έτσι οι μη αμφισβητούμενοι λογάριθμοι γίνονται απλοί.
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
  • Λογόριθμος του πηλίκου. Εδώ η κατάσταση είναι παρόμοια με το άθροισμα των λογαρίθμων. Κατά τη διαίρεση αριθμών, έχουμε τη διαφορά δύο λογαρίθμων με την ίδια βάση.
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
Διαφήμιση
Διαφήμιση
Δεν μπορούν όλοι οι μαθητές να περάσουν ένα εξάμηνο σε ένα πανεπιστήμιο 100 000 ₽ ... Αλλά είναι ωραίο ότι υπάρχει επιχορηγήσεις να διαβάσω. Grant-na-vuz.rf αυτό είναι την ευκαιρία να σπουδάσετε στην επιθυμητή ειδικότητα. Σύνδεσμος όλοι θα λάβουν ένα μπόνους από 300 ₽ πριν 100 000 ₽ επιχορήγηση-στο-πανεπιστήμιο.rf
  • Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο. Εδώ ισχύουν 3 κανόνες. Είναι απλό: εάν ο βαθμός βρίσκεται στη βάση ή το όρισμα του λογάριθμου, τότε μπορεί να μετακινηθεί έξω από το λογάριθμο, σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους:
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex
  • Τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση. Απαιτούνται για εκφράσεις με λογάριθμους, οι οποίες έχουν διαφορετικές βάσεις. Τέτοιοι τύποι χρησιμοποιούνται κυρίως για την επίλυση λογαριθμικών ανισοτήτων και εξισώσεων.
πηγή: Yandex
πηγή: Yandex

Η δεύτερη ιδιότητα ισχύει όταν το όρισμα και η βάση του λογάριθμου ανταλλάσσονται και ο λογάριθμος μεταφέρεται στον παρονομαστή.

Διαφήμιση
Διαφήμιση
Σας υπενθυμίζουμε για την υπηρεσία επιχορήγηση-στο-πανεπιστήμιο.rf ... Μην χάσετε την ευκαιρία να μάθετε τι σας αρέσει. Λοιπόν, ή απλώς εξοικονομήστε χρήματα στο σχολείο. Σίγουρα θα πάρετε από 300 ₽ πριν 100 000 ₽, κάνοντας κλικ στο σύνδεσμο επιχορήγηση-στο-πανεπιστήμιο.rf !

Αναλύσαμε τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Τώρα καμία ανισότητα ή εξίσωση δεν θα παραμείνει άλυτη.)

Ευχαριστούμε που διαβάσατε το άρθρο. Μην ξεχάσετε να εγγραφείτε στο κανάλι και προτείνω επίσης να διαβάσετε το κανάλι των φίλων μας:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - τα τελευταία επιστημονικά επιτεύγματα και τις βέλτιστες εκπαιδευτικές πρακτικές.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΥΨΗΛΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ. Μια διεθνής εταιρεία που παρέχει συμβουλευτικές, συνοδευτικές και ενημερωτικές υπηρεσίες στον τομέα της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης στην Ευρώπη. Επίσημη ιστοσελίδα - https://eurounis.com .
Καλή μέρα και μην αρρωστήσετε.

Добавить комментарий