Logaritmos

Logaritmos

Comenzamos nuestro artículo anterior sobre ecuaciones exponenciales con la ecuación 2 x= 8. Todo estaba claro allí: x = 3.

Ahora considere la ecuación 2 x= 7.

Según la gráfica de la función y = 2 xvemos que esta ecuación tiene raíz y, además, única.

Está claro que esta raíz no es un número entero (ya que 2 2= 4, 2 3= 8). Además, resulta que ni siquiera es un número racional, es decir, no se puede representar como una fracción ordinaria. Intuitivamente, solo sentimos que es menos de 3, pero no mucho.

Esta raíz se denota log 27 (dice: "logaritmo de siete en base dos". Es un número irracional, es decir, una fracción decimal infinita no periódica. La calculadora da: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Entonces, nuestro número es log 27 es el exponente al que se debe elevar 2 para obtener 7.

Ahora damos una definición general del logaritmo. Sea a> 0 y a ≠ 1 (las condiciones son las mismas que para la base de la función exponencial).

Definición. Logaritmo de un número b positivo en base a (denotado por log ab) es el exponente al que se debe elevar a para obtener b.

En otras palabras,

Por ejemplo:

porque

, porque

porque ;

, porque .

La base logarítmica 10 se llama decimal y se denota por lg. Por ejemplo, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = −2.

El logaritmo con base e se llama natural y se denota por ln.

Tenga en cuenta: el logaritmo solo se define para números positivos. La razón es que la función exponencial solo puede tomar valores positivos. Por ejemplo, el registro de números 2(−4) no existe: no importa cuánto aumentemos 2, nunca obtendremos −4.

No te olvides también de las restricciones sobre la base del logaritmo: 0 <a <1 o a> 1.

Fórmulas básicas

Por definición, log ab es el exponente al que se debe elevar el número a para obtener el número b:

La fórmula (1) se llama identidad logarítmica básica Aquí hay otra forma de escribir la identidad logarítmica básica:

Iniciar sesión aax= x.

Enumeremos las propiedades de los logaritmos. Son simples consecuencias de las reglas del poder. Todos los logaritmos siguientes se consideran definidos.

El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos:

Iniciar sesión a(bc) = registro ab + log aC. (2)

El logaritmo del cociente es la diferencia entre los logaritmos:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

El exponente del logaritmo "salta" delante del logaritmo:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(cuatro)

El exponente de la base del logaritmo también "salta", pero en forma de número inverso:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(cinco)

Las fórmulas (4) y (5) juntas dan:

(6)

En particular, si m = n, obtenemos la fórmula:

(7)

Por ejemplo, .

Finalmente, la fórmula más importante para la transición a una nueva base:

(8)

En particular, si c = b, entonces log bb = 1, y luego:

(9)

A continuación se muestran algunos ejemplos de la bolsa de trabajo. uno. (fórmula aplicada (2) la suma de logaritmos).

2. (aplica la identidad logarítmica básica (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(aplicamos la fórmula (4).

cuatro. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(fórmula aplicada (9), pasando a una nueva base 0.8).

cinco. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(fórmula aplicada (3) la diferencia de logaritmos)

Un poco de historia

Ahora comprende qué son los logaritmos y cómo usarlos. Pero, ¿para qué sirven? ¿O es solo un juguete matemático con inteligentes instrucciones de uso?

El concepto de logaritmo y tablas logarítmicas apareció en el siglo XVII y su importancia fue enorme.

En estos días, los cálculos no son difíciles: todo el mundo tiene una calculadora. ¿Y qué se consideraba en tiempos "anteriores a la informática"?

Era posible sumar y restar en el ábaco, pero multiplicar y dividir "en una columna" era lento y difícil.

En los siglos XV y XVII, en la era de los grandes descubrimientos geográficos, el comercio, la economía y la ciencia comenzaron a desarrollarse rápidamente. Los requisitos para las matemáticas crecieron: los cálculos se volvieron más complejos y la precisión, por ejemplo, para resolver problemas de navegación, se necesitaba cada vez más.

Se necesitaba una herramienta para simplificar y acelerar los cálculos, y los logaritmos eran una herramienta de este tipo.

Suponga que byc son números grandes que deben multiplicarse. La llegada de tablas de logaritmos (por ejemplo, con base 10) ha simplificado enormemente esta tarea. Ahora le bastaba a la calculadora encontrar los logaritmos decimales de los números byc de las tablas, sumarlos (en el ábaco) y obtener el logaritmo del producto: lgb + lgc = lg (bc).

Y luego, usando la tabla de logaritmos, encuentra el producto mismo de los números by c.

No es de extrañar que el matemático y astrónomo francés Laplace dijera que la invención de los logaritmos alargó la vida de las calculadoras. La regla de cálculo (que los ingenieros utilizaron hasta los años 70 del siglo XX) no fue una invención menos progresiva que la calculadora moderna.

¡Pero eso no es todo! No nos ocuparíamos de los logaritmos si solo tuvieran un valor histórico, de "museo". Hablaremos de aplicaciones inesperadas de los logaritmos en el próximo artículo sobre la función logarítmica.

Cualquier problema logarítmico significativo no se puede resolver sin conocer las reglas especiales de los logaritmos. O mejor dicho, las principales propiedades. Afortunadamente, no hay muchas de estas propiedades y no será difícil aprenderlas. Pero necesitas conocerlos de izquierda a derecha y en la dirección opuesta.

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Consideremos las propiedades individuales con más detalle:

  • Cero logarítmico. Una propiedad elemental que hay que recordar. Cualquiera que sea la base del logaritmo, si el argumento es 1, entonces el logaritmo siempre es 0.
  • Unidad logarítmica. Otra propiedad simple: si el argumento y la base del logaritmo son iguales, entonces el valor del logaritmo será igual a uno.
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  • Identidad logarítmica básica. Excelente propiedad que convierte una expresión de cuatro pisos en una muy básica b. La esencia de esta fórmula: la base a, elevada a la potencia del logaritmo con la base a, será igual ab.
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  • Suma de logaritmos. Al multiplicar números de logaritmos, puedes hacer de ellos la suma de 2 logaritmos, que tendrán la misma base. Y así los logaritmos incalculables se vuelven simples.
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  • Logaritmo del cociente. Aquí la situación es similar a la suma de logaritmos. Al dividir números, obtenemos la diferencia de dos logaritmos con la misma base.
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  • Eliminando el exponente del logaritmo. Aquí se aplican hasta 3 reglas. Es simple: si el grado está en la base o argumento del logaritmo, entonces se puede mover fuera del logaritmo, de acuerdo con estas fórmulas:
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  • Fórmulas para la transición a una nueva base. Son necesarios para expresiones con logaritmos, que tienen diferentes bases. Estas fórmulas se utilizan principalmente para resolver desigualdades y ecuaciones logarítmicas.
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La segunda propiedad se aplica cuando el argumento y la base del logaritmo se intercambian y el logaritmo se transfiere al denominador.

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Hemos cubierto las propiedades básicas de los logaritmos. Ahora ni una sola desigualdad o ecuación quedará sin resolver;)

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