لگاریتم ها

لگاریتم ها

مقاله قبلی خود را در مورد معادلات نمایی با معادله 2 آغاز کردیم x= 8. همه چیز در آنجا روشن بود: x = 3.

اکنون معادله 2 را در نظر بگیرید x= 7

مطابق نمودار تابع y = 2 xمی بینیم که این معادله ریشه دارد و علاوه بر این ، تنها یک معادله است.

واضح است که این ریشه یک عدد صحیح نیست (از 2) 2= 4 ، 2 3= 8) علاوه بر این ، معلوم می شود که حتی یک عدد منطقی نیست ، یعنی نمی تواند به عنوان کسری معمولی نشان داده شود. بصری ، ما فقط احساس می کنیم که کمتر از 3 است ، اما زیاد نیست.

این ریشه نشانگر log است 27 (می خواند: "لگاریتم هفت تا پایه دو". این یک عدد غیر منطقی است ، یعنی یک کسری اعشاری غیر دوره ای بی نهایت. 27 = 2.807354922057604107 ...

بنابراین ، شماره ما log است 27 نمایی است که باید 2 بدست آورد تا 7 بدست آید.

اکنون یک تعریف کلی از لگاریتم ارائه می دهیم. a> 0 و a ≠ 1 بگذارید (شرایط مشابه پایه تابع نمایی است).

تعریف. لگاریتم یک عدد مثبت b برای پایه a (نشان داده شده با log aب) نمایی است که باید برای بدست آوردن b مطرح شود.

به عبارت دیگر،

برای مثال:

زیرا

، زیرا

زیرا ;

، زیرا .

پایه 10 لگاریتم نامیده می شود اعشاری و با lg نشان داده می شود. به عنوان مثال ، lg 100 = 2 ، lg 1000 = 3 ، lg 0.01 = −2.

لگاریتم با پایه e نامیده می شود طبیعی و با ln نشان داده می شود.

لطفا توجه داشته باشید: لگاریتم فقط برای اعداد مثبت تعریف شده است. دلیل این امر این است که تابع نمایی فقط می تواند مقادیر مثبت را بدست آورد. به عنوان مثال ، ورود به سیستم شماره 2(−4) وجود ندارد: هر چقدر 2 را بزرگ کنیم ، هرگز 4 − نخواهیم گرفت.

همچنین در مورد محدودیت های پایه لگاریتم فراموش نکنید: 0 <a <1 or a> 1.

فرمولهای اساسی

با تعریف ، وارد شوید ab نمایی است که برای بدست آوردن عدد b باید عدد a را به آن اضافه کرد:

فرمول (1) نامیده می شود هویت اصلی لگاریتمی در اینجا روش دیگری برای نوشتن هویت اصلی لگاریتمی وجود دارد:

ورود به سیستم aax= x

اجازه دهید مشخصات لگاریتم ها را لیست کنیم. آنها عواقب ساده قوانین قدرت هستند. تمام لگاریتم های زیر مشخص هستند.

لگاریتم محصول مجموع لگاریتم ها است:

ورود به سیستم a(bc) = ورود به سیستم ab + log aج (2)

لگاریتم ضریب تفاوت بین لگاریتم ها است:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

نماینده لگاریتم در مقابل لگاریتم "می پرد":

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(چهار)

نماینده پایه لگاریتم نیز "می پرد" ، اما به شکل یک عدد معکوس:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(پنج)

فرمول ها (4) و (5) با هم می دهند:

(6)

به طور خاص ، اگر m = n ، فرمول زیر را بدست می آوریم:

(7)

برای مثال، .

سرانجام ، مهمترین فرمول انتقال به بنیاد جدید:

(8)

به طور خاص ، اگر c = b ، پس از آن وارد شوید bb = 1 ، و سپس:

(9)

در اینجا چند نمونه از بانک کار آورده شده است. یکی (فرمول کاربردی (2) مجموع لگاریتم ها).

2 (هویت اصلی لگاریتمی (1) را اعمال کرد)

3 log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(فرمول (4) را اعمال کردیم.

چهار log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(فرمول اعمال شده (9) ، عبور به یک پایه جدید 0.8).

پنج \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(فرمول کاربردی (3) اختلاف لگاریتم ها)

کمی تاریخ

اکنون می فهمید که لگاریتم ها چیست و چگونه از آنها استفاده کنید. اما آنها برای چه کاری هستند؟ یا اینکه فقط یک اسباب بازی ریاضی است که دستورالعمل هوشمندانه ای برای استفاده دارد؟

مفهوم لگاریتم و جداول لگاریتمی در قرن هفدهم ظاهر شد و اهمیت آنها بسیار زیاد بود.

این روزها ، محاسبات کار سختی نیست - همه ماشین حساب دارند. و آنچه در زمان های "پیش از رایانه" در نظر گرفته شده است؟

افزودن و تفریق چرتکه امکان پذیر بود ، اما ضرب و تقسیم "در یک ستون" کند و دشوار بود.

در قرن 15-17th ، در دوران اکتشافات بزرگ جغرافیایی ، تجارت ، اقتصاد و علوم به سرعت در حال توسعه بودند. الزامات ریاضیات افزایش یافت: محاسبات پیچیده تر شدند و دقت ، برای مثال برای حل مسائل ناوبری ، بیشتر و بیشتر مورد نیاز بود.

برای ساده سازی و سرعت بخشیدن به محاسبات ابزاری لازم بود و لگاریتم ها ابزاری برای این کار بودند.

فرض کنید b و c تعداد زیادی هستند که باید ضرب شوند. ظهور جداول لگاریتم (به عنوان مثال ، با پایه 10) این کار را بسیار ساده کرده است. حالا کافی بود که ماشین حساب لگاریتم اعشاری اعداد b و c را از جدول پیدا کند ، آنها را اضافه کند (روی چرتکه) و لگاریتم محصول را بدست آورد: lgb + lgc = lg (bc).

و سپس ، با استفاده از جدول لگاریتم ها ، حاصل عدد b و c را پیدا کنید.

جای تعجب نیست که ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی لاپلاس گفت که اختراع لگاریتم ها عمر ماشین حسابها را طولانی تر کرد. قانون اسلاید (که مهندسان تا دهه 70 قرن بیستم از آن استفاده می کردند) ابداعی کمتر از ماشین حساب مدرن نبود.

اما این تمام نیست! اگر آنها فقط از نظر تاریخی "موزه ای" ارزش داشته باشند ، با آنها برخورد نخواهیم کرد. ما در مقاله بعدی در مورد عملکرد لگاریتمی در مورد کاربردهای غیرمنتظره لگاریتم صحبت خواهیم کرد.

بدون اطلاع از قوانین خاص لگاریتم ، هیچ مشکل قابل توجهی در لگاریتم حل نمی شود. یا بهتر بگوییم ، خصوصیات اصلی. خوشبختانه این خصوصیات زیاد نیستند و یادگیری آنها کار سختی نخواهد بود. اما باید آنها را هم از چپ به راست و هم در جهت مخالف بشناسید.

منبع: یاندکس
منبع: یاندکس

بیایید خصوصیات فردی را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم:

  • صفر لگاریتمی. یک ویژگی ابتدایی که باید به خاطر سپرده شود. پایه لگاریتم هرچه باشد ، اگر آرگومان 1 باشد ، پس لگاریتم همیشه 0 است.
  • واحد لگاریتمی. ویژگی ساده دیگر: اگر آرگومان و پایه لگاریتم یکسان باشند ، مقدار لگاریتم برابر با یک خواهد بود.
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
  • هویت اصلی لگاریتمی. خاصیت عالی که بیان چهار طبقه را به یک اصطلاح بسیار اساسی تبدیل می کند. ماهیت این فرمول: پایه a که با قدرت a به قدرت لگاریتم افزایش یافته برابر با b خواهد بود.
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
  • جمع لگاریتم ها. هنگام ضرب اعداد لگاریتم ، می توانید از آنها جمع 2 لگاریتم کنید که پایه یکسانی دارند. و بنابراین لگاریتم های غیر قابل محاسبه ساده می شوند.
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
  • لگاریتم ضریب. در اینجا وضعیت مشابه مجموع لگاریتم ها است. هنگام تقسیم اعداد ، اختلاف دو لگاریتم با یک پایه را می گیریم.
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
تبلیغات
تبلیغات
هر دانشجویی توانایی گذراندن یک ترم در دانشگاه را ندارد 100 000 ... اما جالب است که وجود دارد کمک هزینه مطالعه کردن Grant-na-vuz.rf این هست فرصت تحصیل در تخصص مورد نظر. ارتباط دادن همه از طرف آنها جایزه دریافت می کنند 300 قبل از 100 000 کمک هزینه در دانشگاه. rf
  • حذف نماد از لگاریتم. در اینجا 3 قانون اعمال می شود. ساده است: اگر درجه در پایه یا استدلال لگاریتم باشد ، می توان آن را مطابق با این فرمول ها به خارج از لگاریتم منتقل کرد:
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس
  • فرمول های انتقال به پایگاه جدید. آنها برای عبارات با لگاریتم ، که پایه های مختلف دارند ، مورد نیاز است. این فرمول ها عمدتا برای حل نابرابری ها و معادلات لگاریتمی استفاده می شوند.
منبع: یاندکس
منبع: یاندکس

خاصیت دوم وقتی مبادله آرگومان و پایه لگاریتم اعمال می شود و لگاریتم به مخرج منتقل می شود.

تبلیغات
تبلیغات
ما در مورد خدمات به شما یادآوری می کنیم کمک هزینه در دانشگاه. rf ... فرصت خود را برای یادگیری آنچه دوست دارید از دست ندهید. خوب ، یا فقط در مدرسه صرفه جویی کنید. قطعاً خواهید گرفت از جانب 300 قبل از 100 000 ، با کلیک بر روی لینک کمک هزینه در دانشگاه. rf !

ما ویژگی های اساسی لگاریتم ها را پوشش داده ایم. اکنون حتی یک نابرابری یا معادله حل نشده باقی نخواهد ماند؛)

با تشکر برای خواندن مقاله مشترک شدن در کانال را فراموش نکنید ، و همچنین توصیه می کنم کانال دوستان ما را بخوانید:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - آخرین دستاوردهای علمی و بهترین شیوه های آموزشی.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - آموزش عالی اروپا. یک شرکت بین المللی ارائه دهنده خدمات مشاوره ، همراه و اطلاعاتی در زمینه آموزش عالی در اروپا. سایت رسمی - https://eurounis.com .
روز خوبی داشته باشید و بیمار نشوید.

Добавить комментарий