Logaritmit

Logaritmit

Aloitimme edellisen artikkelin eksponenttiyhtälöistä yhtälöllä 2 x= 8. Kaikki oli selvää: x = 3.

Harkitse nyt yhtälöä 2 x= 7.

Funktion y = 2 graafin mukaan xnäemme, että tällä yhtälöllä on juuri ja lisäksi ainoa.

On selvää, että tämä juuri ei ole kokonaisluku (koska 2 2= 4, 2 3= 8). Lisäksi käy ilmi, että se ei ole edes rationaaliluku, toisin sanoen sitä ei voida esittää tavallisena murtolukuna. Intuitiivisesti tuntuu vain, että se on alle 3, mutta ei paljon.

Tätä juurta kutsutaan lokiksi 27 (kuuluu: "seitsemän logaritmi kahden perustamiseksi". Se on irrationaaliluku, eli ääretön ei-jaksollinen desimaalimurtoluku. Laskin antaa: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Joten, numero on loki 27 on eksponentti, johon 2 on nostettava, jotta saadaan 7.

Annamme nyt logaritmin yleisen määritelmän. Olkoon a> 0 ja a ≠ 1 (ehdot ovat samat kuin eksponenttifunktion perustalla).

Määritelmä. Positiivisen luvun b logaritmi a: n perustamiseksi (merkitty logilla ab) on eksponentti, jolle a on nostettava, jotta saadaan b.

Toisin sanoen,

Esimerkiksi:

koska

, koska

koska ;

, koska .

Logaritmipohjaa 10 kutsutaan desimaali ja on merkitty luvulla. Esimerkiksi lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritmia, jonka pohja on e, kutsutaan luonnollinen ja sitä merkitään ln: llä.

Huomaa: logaritmi on määritelty vain positiivisille luvuille. Syynä on, että eksponenttifunktio voi ottaa vain positiivisia arvoja. Esimerkiksi numeroloki 2(−4) ei ole olemassa: riippumatta siitä kuinka paljon korotamme 2, emme koskaan saa −4.

Älä unohda myös logaritmin perustan rajoituksia: 0 <a <1 tai a> 1.

Peruskaavat

Määritelmän mukaan kirjaudu ab on eksponentti, jolle numero a on nostettava numeron b saamiseksi:

Kaavaa (1) kutsutaan logaritminen perusidentiteetti Tässä on toinen tapa kirjoittaa logaritminen perusidentiteetti:

Hirsi aax= x.

Luetteloon logaritmien ominaisuudet. Ne ovat valtasääntöjen yksinkertaisia ​​seurauksia. Kaikkia alla olevia logaritmeja pidetään tarkkoina.

Tuotteen logaritmi on logaritmien summa:

Hirsi a(bc) = loki ab + loki ac. (2)

Osamäärän logaritmi on logaritmien ero:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Logaritmin eksponentti "hyppää" logaritmin eteen:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(neljä)

Myös logaritmin pohjan eksponentti "hyppää", mutta käänteisen luvun muodossa:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(viisi)

Kaavat (4) ja (5) antavat yhdessä:

(6)

Erityisesti, jos m = n, saadaan kaava:

(7)

Esimerkiksi, .

Lopuksi tärkein kaava uudelle säätiölle siirtymiseksi:

(8)

Erityisesti, jos c = b, kirjaudu sitten bb = 1 ja sitten:

(9)

Tässä on muutamia esimerkkejä työpaikkapankista. yksi. (käytetty kaavaa (2) logaritmien summa).

2. (käytti logaritmisen perusidentiteetin (1))

3. loki ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (loki _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (loki _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(käytimme kaavaa (4).

neljä. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(sovellettu kaava (9), siirtyminen uudelle perustalle 0,8).

viisi. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(käytetty kaavaa (3) logaritmien ero)

Hieman historiaa

Nyt ymmärrät, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Mutta mihin ne ovat? Vai onko se vain matematiikkalelu, jossa on fiksut käyttöohjeet?

Logaritmin ja logaritmitaulukoiden käsite ilmestyi 1600-luvulla, ja niiden merkitys oli valtava.

Nykyään laskelmat eivät ole vaikeita - kaikilla on laskin. Ja mitä pidettiin "ennen tietokonetta" aikoina?

Aakkoselle oli mahdollista lisätä ja vähentää, mutta moninkertaistaa ja jakaa "sarakkeessa" oli hidasta ja vaikeaa.

Suurten maantieteellisten löytöjen aikakaudella kauppa, taloustiede ja tiede alkoivat nopeasti kehittyä 15--17-luvuilla. Matematiikan vaatimukset kasvoivat: laskutoimitukset monimutkaisivat ja tarkkuutta - esimerkiksi navigointiongelmien ratkaisemiseen - tarvittiin yhä enemmän.

Tarvittiin työkalu laskelmien yksinkertaistamiseksi ja nopeuttamiseksi, ja logaritmit olivat sellainen työkalu.

Oletetaan, että b ja c ovat suuria lukuja, jotka on kerrottava. Logaritmitaulukoiden (esimerkiksi perustan 10 kanssa) tulo on yksinkertaistanut tätä tehtävää huomattavasti. Nyt riitti, että laskin löysi taulukoista numeroiden b ja c desimaalilogaritmit, lisäsi ne (abakilla) ja sai tuotteen logaritmin: lgb + lgc = lg (bc).

Ja sitten etsi logaritmitaulukon avulla numeroiden b ja c tulo.

Ei ihme, että ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Laplace sanoi, että logaritmien keksiminen pidentää laskinten käyttöikää. Diasääntö (jota insinöörit käyttivät 1900-luvun 70-luvulle saakka) ei ollut yhtä edistyksellinen keksintö kuin moderni laskin.

Mutta se ei ole kaikki! Emme käsittele logaritmeja, jos niillä olisi vain historiallinen, "museo" arvo. Puhumme logaritmien odottamattomista sovelluksista seuraavassa logaritmisen funktion artikkelissa.

Mitään merkittävää logaritmista ongelmaa ei voida ratkaista tietämättä logaritmien erityissääntöjä. Tai pikemminkin tärkeimmät ominaisuudet. Onneksi näitä ominaisuuksia ei ole paljon, eikä niiden oppiminen ole vaikeaa. Mutta sinun täytyy tuntea ne sekä vasemmalta oikealle että vastakkaiseen suuntaan.

lähde: Yandex
lähde: Yandex

Tarkastellaan yksittäisiä ominaisuuksia tarkemmin:

  • Logaritminen nolla. Perusominaisuus, joka on muistettava. Riippumatta logaritmin perustasta, jos argumentti on 1, niin logaritmi on aina 0.
  • Logaritminen yksikkö. Toinen yksinkertainen ominaisuus: jos argumentti ja logaritmin perusta ovat samat, logaritmin arvo on yhtä suuri.
lähde: Yandex
lähde: Yandex
  • Logaritminen perusidentiteetti. Erinomainen ominaisuus, joka tekee nelikerroksisesta ilmaisusta hyvin yksinkertaisen b. Tämän kaavan ydin: pohja, joka on nostettu logaritmin voimaan pohjan a kanssa, on yhtä suuri kuin b.
lähde: Yandex
lähde: Yandex
  • Logaritmien summa. Kun kerrot logaritmilukuja, voit tehdä niistä kahden logaritmin summan, joilla on sama perusta. Ja niin laskemattomat logaritmit muuttuvat yksinkertaisiksi.
lähde: Yandex
lähde: Yandex
  • Osamäärän logaritmi. Tässä tilanne on samanlainen kuin logaritmien summa. Jaettaessa numeroita saadaan kahden logaritmin ero, jolla on sama pohja.
lähde: Yandex
lähde: Yandex
Mainonta
Mainonta
Jokaisella opiskelijalla ei ole varaa viettää lukukautta yliopistossa 100 000 ₽ ... Mutta on hienoa, että on apurahat opiskella. Grant-na-vuz.rf Tämä on mahdollisuus opiskella halutulla erikoisalalla. Linkki jokainen saa bonuksen 300 ₽ ennen 100 000 ₽ apuraha yliopistossa. rf
  • Eksponentin poistaminen logaritmista. Täällä sovelletaan peräti 3 sääntöä. Se on yksinkertaista: jos aste on logaritmin juuressa tai argumentissa, se voidaan siirtää logaritmin ulkopuolelle seuraavien kaavojen mukaisesti:
lähde: Yandex
lähde: Yandex
lähde: Yandex
lähde: Yandex
  • Kaavat siirtymiseen uuteen tukikohtaan. Niitä tarvitaan logaritmeilla, joilla on erilaiset perustelut. Tällaisia ​​kaavoja käytetään pääasiassa logaritmisten eriarvoisuuksien ja yhtälöiden ratkaisemiseen.
lähde: Yandex
lähde: Yandex

Toinen ominaisuus pätee, kun logaritmin argumentti ja perusta vaihdetaan ja logaritmi siirretään nimittäjään.

Mainonta
Mainonta
Muistutamme palvelusta apuraha yliopistossa. rf ... Älä missaa mahdollisuuttasi oppia, mistä pidät. No, tai vain säästää rahaa koulussa. Tulet varmasti saamaan alkaen 300 ₽ ennen 100 000 ₽, napsauttamalla linkkiä apuraha yliopistossa. rf !

Olemme tarkastelleet logaritmien perusominaisuuksia. Nyt yksikään epätasa-arvo tai yhtälö ei jää ratkaisematta;)

Kiitos artikkelin lukemisesta. Älä unohda kanavan tilaamista, ja suosittelen myös lukemaan ystäviemme kanavan:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - uusimmat tieteelliset saavutukset ja parhaat opetuskäytännöt.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROOPAN KORKEAKOULUTUS. Kansainvälinen yritys, joka tarjoaa konsultointi-, seuranta- ja tietopalveluja korkeakoulutuksen alalla Euroopassa. Virallinen sivusto - https://eurounis.com .
Hyvää päivää ja älä sairastu.

Добавить комментарий