Logarithmes

Logarithmes

Nous avons commencé notre précédent article sur les équations exponentielles avec l'équation 2 x= 8. Tout y était clair: x = 3.

Considérons maintenant l'équation 2 x= 7.

D'après le graphique de la fonction y = 2 xon voit que cette équation a une racine, et d'ailleurs la seule.

Il est clair que cette racine n'est pas un entier (puisque 2 2= 4, 2 3= 8). De plus, il s'avère que ce n'est même pas un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être représenté comme une fraction ordinaire. Intuitivement, on sent que c'est moins de 3, mais pas beaucoup.

Cette racine est notée log 27 (se lit: «logarithme base deux». C'est un nombre irrationnel, c'est-à-dire une fraction décimale non périodique infinie. La calculatrice donne: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Donc notre numéro est log 27 est l'exposant auquel 2 doit être élevé pour obtenir 7.

Nous donnons maintenant une définition générale du logarithme. Soit a> 0 et a ≠ 1 (les conditions sont les mêmes que pour la base de la fonction exponentielle).

Définition. Logarithme d'un nombre positif b en base a (noté log ab) est l'exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b.

En d'autres termes,

Par exemple:

car

, car

car ;

, car .

Le logarithme base 10 est appelé décimal et est désigné par lg. Par exemple, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = -2.

Le logarithme de base e est appelé Naturel et est noté ln.

Attention: le logarithme n'est défini que pour les nombres positifs. La raison en est que la fonction exponentielle ne peut prendre que des valeurs positives. Par exemple, le journal des nombres 2(−4) n'existe pas: quel que soit le degré auquel nous élevons 2, nous n'obtiendrons jamais −4.

N'oubliez pas les restrictions sur la base du logarithme: 0 <a <1 ou a> 1.

Formules de base

Par définition, connectez-vous ab est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre b:

La formule (1) est appelée l'identité logarithmique de base Voici une autre façon d'écrire l'identité logarithmique de base:

Journal aax= x.

Listons les propriétés des logarithmes. Ce sont de simples conséquences des règles de pouvoir. Tous les logarithmes ci-dessous sont considérés comme définis.

Le logarithme du produit est la somme des logarithmes:

Journal a(bc) = journal ab + journal ac. (2)

Le logarithme du quotient est la différence entre les logarithmes:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

L'exposant du logarithme "saute" devant le logarithme:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(quatre)

L'exposant de la base du logarithme "saute" également, mais sous la forme d'un nombre inverse:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(cinq)

Les formules (4) et (5) donnent ensemble:

(6)

En particulier, si m = n, on obtient la formule:

(7)

Par exemple, .

Enfin, la formule la plus importante pour la transition vers une nouvelle fondation:

(8)

En particulier, si c = b, alors log bb = 1, puis:

(9)

Voici quelques exemples tirés de la banque d'emplois. une. (formule appliquée (2) la somme des logarithmes).

2. (appliqué l'identité logarithmique de base (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (journal _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (journal _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(formule appliquée (4).

quatre. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(formule appliquée (9), passant à une nouvelle base 0.8).

cinq. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(formule appliquée (3) la différence des logarithmes)

Un peu d'histoire

Vous comprenez maintenant ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Mais à quoi servent-ils? Ou est-ce juste un jouet mathématique avec des instructions d'utilisation intelligentes?

Le concept du logarithme et des tables logarithmiques est apparu au 17ème siècle, et leur signification était énorme.

De nos jours, les calculs ne sont pas difficiles - tout le monde a une calculatrice. Et qu'est-ce qui était considéré à l'époque «pré-informatique»?

Il était possible d'ajouter et de soustraire sur l'abaque, mais multiplier et diviser "en colonne" était lent et difficile.

Aux XV et XVIIe siècles, à l'ère des grandes découvertes géographiques, le commerce, l'économie et la science ont commencé à se développer rapidement. Les exigences en mathématiques ont augmenté: les calculs sont devenus plus complexes et la précision - par exemple, pour résoudre des problèmes de navigation - était de plus en plus nécessaire.

Un outil était nécessaire pour simplifier et accélérer les calculs, et les logarithmes étaient un tel outil.

Supposons que b et c sont de grands nombres qui doivent être multipliés. L'avènement des tables de logarithmes (par exemple, avec la base 10) a grandement simplifié cette tâche. Il suffisait maintenant à la calculatrice de trouver les logarithmes décimaux des nombres b et c à partir des tableaux, de les ajouter (sur l'abaque) et d'obtenir le logarithme du produit: lgb + lgc = lg (bc).

Et puis, à l'aide de la table des logarithmes, trouvez le produit même des nombres b et c.

Pas étonnant que le mathématicien et astronome français Laplace ait dit que l'invention des logarithmes allongeait la vie des calculatrices. La règle à calcul (que les ingénieurs ont utilisée jusqu'aux années 70 du XXe siècle) n'était pas une invention moins progressive que la calculatrice moderne.

Mais ce n'est pas tout! Nous ne traiterions pas des logarithmes s'ils n'avaient qu'une valeur historique, «muséale». Nous parlerons des applications inattendues des logarithmes dans le prochain article sur la fonction logarithmique.

Tout problème logarithmique significatif ne peut être résolu sans connaître les règles spéciales des logarithmes. Ou plutôt, les principales propriétés. Heureusement, il n'y a pas beaucoup de ces propriétés et il ne sera pas difficile de les apprendre. Mais vous devez les connaître à la fois de gauche à droite et dans la direction opposée.

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Considérons les propriétés individuelles plus en détail:

  • Zéro logarithmique. Une propriété élémentaire dont il faut se souvenir. Quelle que soit la base du logarithme, si l'argument est 1, alors le logarithme est toujours 0.
  • Unité logarithmique. Autre propriété simple: si l'argument et la base du logarithme sont identiques, alors la valeur du logarithme sera égale à un.
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  • Identité logarithmique de base. Excellente propriété qui transforme une expression de quatre étages en un b très basique. L'essence de cette formule: la base a, élevée à la puissance du logarithme avec la base a, sera égale à b.
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  • Somme des logarithmes. En multipliant les nombres de logarithmes, vous pouvez en faire la somme de 2 logarithmes, qui auront la même base. Et ainsi les logarithmes incalculables deviennent simples.
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  • Logarithme du quotient. Ici, la situation est similaire à la somme des logarithmes. Lors de la division des nombres, nous obtenons la différence de deux logarithmes avec la même base.
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  • Suppression de l'exposant du logarithme. Jusqu'à 3 règles s'appliquent ici. C'est simple: si le degré est à la base ou à l'argument du logarithme, alors il peut être déplacé hors du logarithme, selon ces formules:
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  • Formules pour la transition vers une nouvelle base. Ils sont nécessaires pour les expressions avec des logarithmes, qui ont des bases différentes. Ces formules sont principalement utilisées pour résoudre des inégalités et des équations logarithmiques.
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La deuxième propriété s'applique lorsque l'argument et la base du logarithme sont permutés et que le logarithme est transféré au dénominateur.

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Nous avons couvert les propriétés de base des logarithmes. Désormais, pas une seule inégalité ou équation ne restera non résolue;)

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