लघुगणक

लघुगणक

हमने समीकरण 2 के साथ घातीय समीकरणों पर अपना पिछला लेख शुरू किया x= 8. वहां सब कुछ स्पष्ट था: x = 3।

अब समीकरण 2 पर विचार करें x= 7।

फ़ंक्शन के ग्राफ के अनुसार y = 2 xहम देखते हैं कि इस समीकरण की जड़ है, और, इसके अलावा, एक ही है।

यह स्पष्ट है कि यह मूल पूर्णांक नहीं है (2 के बाद से 2= 4, 2 3= 8)। इसके अलावा, यह पता चला है कि यह एक तर्कसंगत संख्या भी नहीं है, अर्थात, इसे एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। सहज रूप से, हम केवल यह महसूस करते हैं कि यह 3 से कम है, लेकिन ज्यादा नहीं।

यह रूट लॉग चिह्नित है 27 (पढ़ता है: "लघुगणक आधार दो।" यह एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात्, एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है। कैलकुलेटर देता है: लॉग 27 = 2.807354922057604107 ...

तो, हमारा नंबर लॉग है 27 एक घातांक है जिसमें 2 को 7 प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

अब हम लघुगणक की एक सामान्य परिभाषा देते हैं। आज्ञा देना एक> 0 और एक a 1 (शर्तों घातीय फ़ंक्शन के आधार के लिए समान हैं)।

परिभाषा। एक सकारात्मक संख्या बी के एक लघुगणक आधार (लॉग द्वारा चिह्नित) ab) वह घातांक है, जिसे b प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

दूसरे शब्दों में,

उदाहरण के लिए:

इसलिये

, इसलिये

इसलिये ;

, इसलिये .

लघुगणक आधार 10 को कहा जाता है दशमलव और lg द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = 1002।

आधार ई के साथ लघुगणक कहा जाता है प्राकृतिक और ln द्वारा निरूपित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है। कारण यह है कि घातीय फ़ंक्शन केवल सकारात्मक मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या लॉग 2(Much4) मौजूद नहीं है: हम चाहे जितना 2 बढ़ा लें, हमें कभी भी does4 नहीं मिलेगा।

लघुगणक के आधार पर प्रतिबंध के बारे में भी मत भूलना: 0 <a <1 या a> 1।

मूल सूत्र

परिभाषा के अनुसार, लॉग करें ab वह प्रतिपादक है जिस पर संख्या को प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए b:

फॉर्मूला (1) कहा जाता है मूल लघुगणकीय पहचान यहाँ मूल लघुगणकीय पहचान लिखने का एक और तरीका है:

लॉग aax= एक्स।

हमें लघुगणक के गुणों की सूची दें। वे शक्ति नियमों के सरल परिणाम हैं। नीचे दिए गए सभी लघुगणक को निश्चित माना जाता है।

उत्पाद का लघुगणक लघुगणक का योग है:

लॉग a(बीसी) = लॉग aबी + लॉग aसी। (२)

भागफल का लघुगणक लघुगणक के बीच का अंतर है:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(३)

लघुगणक के सामने "छलांग" का घातांक:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(चार)

लघुगणक के आधार का घातांक भी "कूदता है", लेकिन एक व्युत्क्रम संख्या के रूप में:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(पंज)

सूत्र (4) और (5) एक साथ देते हैं:

(६)

विशेष रूप से, यदि m = n, तो हमें सूत्र मिलता है:

(7)

उदाहरण के लिए, .

अंत में, एक नई नींव के लिए संक्रमण के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्र:

(8)

विशेष रूप से, यदि c = b, तो लॉग इन करें bबी = 1, और फिर:

(९)

नौकरी बैंक से कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। एक। (अनुप्रयुक्त सूत्र (2) लघुगणक का योग)।

२। (मूल लघुगणकीय पहचान लागू की गई (1))

३। लॉग ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (लॉग _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (लॉग _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(हमने फॉर्मूला लागू किया (4)।

चार। log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = लॉग / {frac {4 } {५}} \ frac {५} {४} = - १(लागू सूत्र (9), एक नए आधार 0.8 से गुजर रहा है)।

पंज। \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(अनुप्रयुक्त सूत्र (3) लघुगणक का अंतर)

इतिहास का हिस्सा

अब आप समझते हैं कि लघुगणक क्या हैं और उनका उपयोग कैसे करें। लेकिन वे किस लिए हैं? या यह सिर्फ उपयोग के लिए चतुर निर्देशों के साथ एक गणित का खिलौना है?

लघुगणक और लघुगणक तालिकाओं की अवधारणा 17 वीं शताब्दी में दिखाई दी, और उनका महत्व बहुत बड़ा था।

इन दिनों, गणना मुश्किल नहीं है - हर किसी के पास एक कैलकुलेटर है। और "पूर्व-कंप्यूटर" समय में क्या माना जाता था?

यह अबेकस पर जोड़ना और घटाना संभव था, लेकिन "एक कॉलम में" को गुणा और विभाजित करना धीमा और मुश्किल था।

15-17 वीं शताब्दी में, महान भौगोलिक खोजों के युग में, व्यापार, अर्थशास्त्र और विज्ञान ने तेजी से विकास करना शुरू कर दिया। गणित के लिए आवश्यकताएं बढ़ीं: गणना अधिक जटिल हो गई, और सटीकता - उदाहरण के लिए, नेविगेशन समस्याओं को हल करने के लिए - अधिक से अधिक की आवश्यकता थी।

गणना को सरल बनाने और गति देने के लिए एक उपकरण की आवश्यकता थी, और लघुगणक एक ऐसा उपकरण था।

मान लीजिए कि बी और सी बड़ी संख्या हैं जिन्हें गुणा करने की आवश्यकता है। लॉगरिथम की तालिकाओं का आगमन (उदाहरण के लिए, बेस 10 के साथ) ने इस कार्य को बहुत सरल बना दिया है। अब यह गणना करने के लिए पर्याप्त था कि तालिकाओं से बी और सी की संख्या के दशमलव लघुगणक को खोजें, उन्हें (अबेकस पर) जोड़ें और उत्पाद का लघुगणक प्राप्त करें: lgb + lgc = lg (bc)।

और फिर, लघुगणक की तालिका का उपयोग करके, बी और सी के संख्याओं का बहुत गुणनफल ज्ञात कीजिए।

कोई आश्चर्य नहीं कि फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोल विज्ञानी लाप्लास ने कहा कि लघुगणकों के आविष्कार ने कैलकुलेटरों के जीवन को लंबा कर दिया। स्लाइड नियम (जो बीसवीं शताब्दी के 70 के दशक तक इंजीनियर इस्तेमाल करते थे) आधुनिक कैलकुलेटर से कम प्रगतिशील आविष्कार नहीं था।

लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है! यदि वे केवल ऐतिहासिक, "संग्रहालय" मूल्य रखते हैं, तो हम लघुगणकों के साथ व्यवहार नहीं करेंगे। हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन पर अगले लेख में लॉगरिदम के अप्रत्याशित अनुप्रयोगों के बारे में बात करेंगे।

लघुगणक के विशेष नियमों को जाने बिना किसी भी महत्वपूर्ण लघुगणकीय समस्या को हल नहीं किया जा सकता है। या बल्कि, मुख्य गुण। सौभाग्य से, इनमें से कई गुण नहीं हैं और उन्हें सीखना मुश्किल नहीं होगा। लेकिन आपको उन दोनों को बाएं से दाएं और विपरीत दिशा में जानने की आवश्यकता है।

स्रोत: यैंडेक्स
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आइए व्यक्तिगत गुणों पर अधिक विस्तार से विचार करें:

  • लघुगणक शून्य। एक प्राथमिक संपत्ति जिसे याद रखना चाहिए। लॉगरिदम का आधार जो भी हो, यदि तर्क 1 है, तो लॉगरिदम हमेशा 0 होता है।
  • लघुगणक इकाई। एक और सरल संपत्ति: यदि तर्क और लघुगणक का आधार समान है, तो लघुगणक का मान एक के बराबर होगा।
स्रोत: यैंडेक्स
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  • मूल लघुगणकीय पहचान। उत्कृष्ट संपत्ति जो चार-कहानी की अभिव्यक्ति को एक बहुत ही बुनियादी बी में बदल देती है। इस सूत्र का सार: आधार a, के साथ लघुगणक की शक्ति के लिए उठाया गया आधार, b के बराबर होगा।
स्रोत: यैंडेक्स
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  • लघुगणक का योग। जब लघुगणक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आप उन्हें 2 लघुगणक का योग बना सकते हैं, जिसका आधार एक ही होगा। और इसलिए अप्राप्य लघुगण सरल हो जाते हैं।
स्रोत: यैंडेक्स
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  • भागफल का लघुगणक। यहाँ स्थिति लघुगणक के योग के समान है। संख्याओं को विभाजित करते समय, हमें एक ही आधार के साथ दो लघुगणक का अंतर मिलता है।
स्रोत: यैंडेक्स
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  • लघुगणक से घातांक निकालना। यहां 3 नियम लागू होते हैं। यह सरल है: यदि डिग्री लघुगणक के आधार या तर्क पर है, तो इसे इन सूत्रों के अनुसार, लघुगणक के बाहर ले जाया जा सकता है:
स्रोत: यैंडेक्स
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  • नए आधार पर परिवर्तन के लिए सूत्र। उन्हें लॉगरिदम के साथ अभिव्यक्तियों की आवश्यकता होती है, जिनके आधार अलग-अलग होते हैं। ऐसे सूत्र मुख्य रूप से लघुगणकीय असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
स्रोत: यैंडेक्स
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दूसरी संपत्ति तब लागू होती है जब लॉगरिदम के तर्क और आधार को स्वैप किया जाता है, और लॉगरिदम को भाजक में स्थानांतरित किया जाता है।

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हमने लघुगणक के मूल गुणों को कवर किया है। अब एक भी असमानता या समीकरण अनसुलझा नहीं रहेगा;)

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