Logaritmusok

Logaritmusok

Korábbi cikkünket az exponenciális egyenletekről a 2. egyenlettel kezdtük x= 8. Ott minden világos volt: x = 3.

Most vegyük figyelembe a 2. egyenletet x= 7.

Az y = 2 függvény grafikonja szerint xlátjuk, hogy ennek az egyenletnek van egy gyökere, ráadásul az egyetlen.

Világos, hogy ez a gyök nem egész szám (mivel 2 2= 4, 2 3= 8). Sőt, kiderül, hogy nem is racionális szám, vagyis nem ábrázolható közönséges törtként. Intuitív módon csak azt érezzük, hogy kevesebb, mint 3, de nem sok.

Ezt a gyökeret lognak jelöljük 27 (így olvasható: „kettő logaritmus alap.”) Ez egy irracionális szám, azaz egy végtelen, nem periodikus tizedes tört. A számológép megadja: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Tehát a számunk log 27 az a kitevő, amelyre 2-t fel kell emelni, hogy 7-et kapjon.

Most egy általános meghatározást adunk a logaritmusról. Legyen a> 0 és a ≠ 1 (a feltételek megegyeznek az exponenciális függvény bázisával).

Meghatározás. Pozitív b szám logaritmusa az a megalapozásához (log ab) az a kitevő, amelyhez a b értéket meg kell emelni.

Más szavakkal,

Például:

mivel

, mivel

mivel ;

, mivel .

A 10 logaritmus alapot hívjuk meg decimális és lg-vel van jelölve. Például lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Az e bázisú logaritmust hívjuk természetes és ln jelöli.

Kérjük, vegye figyelembe: a logaritmust csak pozitív számokra adjuk meg. Ennek oka, hogy az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vehet fel. Például a számnapló 2(−4) nem létezik: függetlenül attól, hogy milyen fokozatot emelünk 2-vel, soha nem fogunk −4-et kapni.

Ne feledkezzen meg a logaritmus bázisára vonatkozó korlátozásokról: 0 <a <1 vagy a> 1.

Alapképletek

Értelemszerűen log ab az a kitevő, amelyre az a számot fel kell emelni a b szám megszerzéséhez:

Az (1) képletet hívjuk az alapvető logaritmikus azonosság Itt van egy másik módszer az alapvető logaritmikus azonosság megírásához:

napló aax= x.

Soroljuk fel a logaritmusok tulajdonságait. A hatalmi szabályok egyszerű következményei. Az alábbi logaritmusok mindegyike meghatározottnak tekinthető.

A szorzat logaritmusa a logaritmusok összege:

napló a(bc) = log ab + napló ac. (2)

A hányados logaritmusa a logaritmusok közötti különbség:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

A logaritmus kitevője "ugrik" a logaritmus elé:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(négy)

A logaritmus alapjának kitevője is "ugrik", de inverz szám formájában:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(öt)

A (4) és (5) képlet együttesen adja:

(6)

Különösen, ha m = n, akkor a következő képletet kapjuk:

(7)

Például, .

Végül az új alapozásra való áttérés legfontosabb képlete:

(8)

Különösen, ha c = b, akkor log bb = 1, majd:

(9)

Íme néhány példa az állásbankból. egy. (a (2) képletet alkalmazzuk a logaritmusok összegével).

2. (alkalmazta az alap logaritmikus azonosságot (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(alkalmazott (4) képlet).

négy. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(a (9) képletet alkalmazzuk, átkerülve egy új, 0,8 bázisra)

öt. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(a (3) képletet alkalmazzuk a logaritmusok különbségét)

Egy kis történelem

Most már megértette, hogy mi a logaritmus és hogyan kell használni őket. De mire valók? Vagy csak egy ügyes használati utasítással ellátott matematikai játékról van szó?

A logaritmus és a logaritmikus táblák koncepciója a 17. században jelent meg, és jelentőségük óriási volt.

Manapság a számítások nem nehézek - mindenkinek van számológépe. És mit gondoltak a "számítógép előtti" időkben?

Lehetséges volt az abakusz összeadása és kivonása, de az "oszlopban" szorzás és osztás lassú és nehéz volt.

A 15-17. Században, a nagy földrajzi felfedezések korában a kereskedelem, a közgazdaságtan és a tudomány rohamos fejlődésnek indult. A matematika követelményei nőttek: a számítások összetettebbé váltak, és a pontosságra - például a navigációs problémák megoldására - egyre nagyobb szükség volt.

Szükség volt egy eszközre a számítások egyszerűsítéséhez és felgyorsításához, a logaritmusok is ilyen eszközök voltak.

Tegyük fel, hogy b és c nagy számok, amelyeket meg kell szorozni. A logaritmus táblák megjelenése (például a 10-es bázissal) jelentősen leegyszerűsítette ezt a feladatot. Most már elég volt, hogy a számológép megtalálja a táblákból a b és c számok decimális logaritmusait, összeadja őket (az abacuson), és megkapja a szorzat logaritmusát: lgb + lgc = lg (bc).

Ezután a logaritmus táblázat segítségével keresse meg a b és c számok szorzatát.

Nem csoda, hogy a francia matematikus és csillagász, Laplace azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása meghosszabbította a számológépek élettartamát. A diaszabály (amelyet a mérnökök a huszadik század 70-es évekig használtak) nem kevésbé progresszív találmány volt, mint a modern számológép.

De ez még nem minden! Nem foglalkoznánk a logaritmusokkal, ha csak történelmi, "muzeális" értékkel bírnának. A logaritmus váratlan alkalmazásáról a következő cikkben fogunk beszélni a logaritmikus függvényről.

Bármely jelentős logaritmikus probléma nem oldható meg a logaritmusok speciális szabályainak ismerete nélkül. Vagy inkább a fő tulajdonságok. Szerencsére nem sok ilyen tulajdonság van, és nem lesz nehéz megtanulni őket. De ismernie kell őket balról jobbra és az ellenkező irányban is.

forrás: Yandex
forrás: Yandex

Vizsgáljuk meg részletesebben az egyes tulajdonságokat:

  • Logaritmikus nulla. Elemi tulajdonság, amelyre emlékezni kell. Bármi is legyen a logaritmus alapja, ha az argumentum 1, akkor a logaritmus mindig 0.
  • Logaritmikus egység. Egy másik egyszerű tulajdonság: ha a logaritmus argumentuma és alapja megegyezik, akkor a logaritmus értéke egyenlő lesz.
forrás: Yandex
forrás: Yandex
  • Alapvető logaritmikus azonosság. Kiváló tulajdonság, amely egy négyemeletes kifejezést nagyon egyszerűvé alakít b. Ennek a képletnek a lényege: az a bázissal az a bázissal a logaritmus erejéig emelt b egyenlő lesz b-vel.
forrás: Yandex
forrás: Yandex
  • Logaritmusok összege. A logaritmusszámok szorzásakor 2 logaritmus összegét készítheti belőlük, amelyeknek ugyanaz az alapja lesz. Így a kiszámíthatatlan logaritmusok egyszerűvé válnak.
forrás: Yandex
forrás: Yandex
  • A hányados logaritmusa. Itt a helyzet hasonló a logaritmusok összegéhez. A számok felosztásakor két azonos bázisú logaritmus különbségét kapjuk.
forrás: Yandex
forrás: Yandex
Hirdető
Hirdető
Nem minden hallgató engedheti meg magának, hogy félévet töltsön egy egyetemen 100 000 ₽ ... De klassz, hogy van támogatások tanulni. Grant-na-vuz.rf ez a kívánt szakterületen való tanulás lehetősége. Link mindenki bónuszt kap 300 ₽ előtt 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • A kitevő eltávolítása a logaritmusból. Itt akár 3 szabály is érvényes. Egyszerű: ha a fok a logaritmus alapján vagy argumentumánál található, akkor a következő képleteknek megfelelően áthelyezhető a logaritmuson kívülre:
forrás: Yandex
forrás: Yandex
forrás: Yandex
forrás: Yandex
  • Képletek az új bázisra való áttéréshez. Különböző logaritmusú kifejezésekre van szükségük, amelyeknek különböző alapjaik vannak. Az ilyen képleteket főleg logaritmikus egyenlőtlenségek és egyenletek megoldására használják.
forrás: Yandex
forrás: Yandex

A második tulajdonság akkor érvényes, ha a logaritmus argumentumát és alapját felcseréljük, és a logaritmust áthelyezzük a nevezőre.

Hirdető
Hirdető
Emlékeztetünk a szolgáltatásra grant-at-university.rf ... Ne hagyja ki a lehetőséget, hogy megtanulja, amit szeret. Nos, vagy csak pénzt takaríthat meg az iskolában. Biztosan megkapja tól től 300 ₽ előtt 100 000 ₽, linkre kattintva grant-at-university.rf !

Elemeztük a logaritmusok alapvető tulajdonságait. Most egyetlen egyenlőtlenség vagy egyenlet sem marad megoldatlan;)

Köszönöm, hogy elolvastad a cikket. Ne feledkezzen meg a csatornára való feliratkozásról, és azt is javaslom, hogy olvassa el barátaink csatornáját:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - a legújabb tudományos eredmények és a legjobb oktatási gyakorlatok.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EURÓPAI FELSŐOKTATÁS. Nemzetközi vállalat, amely tanácsadási, kísérő és információs szolgáltatásokat nyújt az európai felsőoktatás területén. Hivatalos oldal - https://eurounis.com .
Szép napot, és ne legyél beteg.

Добавить комментарий