Logaritma

Logaritma

Kami memulai artikel kami sebelumnya tentang persamaan eksponensial dengan persamaan 2 x= 8. Semuanya jelas di sana: x = 3.

Sekarang perhatikan persamaan 2 x= 7.

Menurut grafik fungsi y = 2 xkita melihat bahwa persamaan ini memiliki akar, dan terlebih lagi, satu-satunya.

Jelas bahwa root ini bukan bilangan bulat (sejak 2 2= 4, 2 3= 8). Selain itu, ternyata itu bahkan bukan bilangan rasional, yaitu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Secara intuitif, kita hanya merasa kurang dari 3, tapi tidak banyak.

Akar ini dilambangkan dengan log 27 (dibaca: “logaritma basis dua.” Ini adalah bilangan irasional, yaitu pecahan desimal non-periodik tak terhingga. Kalkulator menghasilkan: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Jadi nomor kita adalah log 27 adalah eksponen yang harus dinaikkan 2 untuk mendapatkan 7.

Kami sekarang memberikan definisi umum dari logaritma. Misalkan a> 0 dan a ≠ 1 (kondisinya sama dengan basis fungsi eksponensial).

Definisi. Logaritma bilangan positif b ke basis a (dilambangkan dengan log ab) adalah eksponen yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan b.

Dengan kata lain,

Contohnya:

karena

, karena

karena ;

, karena .

Logaritma basis 10 disebut desimal dan dilambangkan dengan lg. Misalnya, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritma dengan basis e disebut alam dan dilambangkan dengan ln.

Harap diperhatikan: logaritma hanya ditentukan untuk bilangan positif. Alasannya, fungsi eksponensial hanya dapat mengambil nilai positif. Misalnya, log angka 2(−4) tidak ada: tidak peduli berapa derajat kita naikkan 2, kita tidak akan pernah mendapatkan −4.

Jangan lupa tentang batasan pada basis logaritma: 0 <a <1 or a> 1.

Rumus dasar

Menurut definisi, log ab adalah eksponen dimana bilangan a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan b:

Rumus (1) dipanggil identitas logaritmik dasar Berikut cara lain untuk menulis identitas logaritmik dasar:

catatan aax= x.

Mari daftar properti logaritma. Itu adalah konsekuensi sederhana dari aturan kekuasaan. Semua logaritma di bawah ini dianggap pasti.

Logaritma produk adalah jumlah dari logaritma:

catatan a(bc) = log ab + log ac. (2)

Logaritma dari hasil bagi adalah perbedaan antara logaritma:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Eksponen logaritma "melompat" di depan logaritma:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(empat)

Eksponen basis logaritma juga "melompat", tetapi dalam bentuk bilangan terbalik:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(lima)

Rumus (4) dan (5) bersama-sama menghasilkan:

(6)

Secara khusus, jika m = n, kita mendapatkan rumusnya:

(7)

Contohnya, .

Terakhir, rumus terpenting untuk transisi ke yayasan baru:

(8)

Secara khusus, jika c = b, maka log bb = 1, lalu:

(9)

Berikut beberapa contoh dari job bank. satu. (rumus terapan (2) jumlah logaritma).

2. (menerapkan identitas logaritmik dasar (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(rumus terapan (4).

empat. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1,25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(menerapkan rumus (9), meneruskan ke basis baru 0.8).

lima. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(rumus terapan (3) perbedaan logaritma)

Sedikit sejarah

Sekarang Anda mengerti apa itu logaritma dan bagaimana menggunakannya. Tapi untuk apa mereka? Atau apakah itu hanya mainan matematika dengan instruksi penggunaan yang cerdas?

Konsep tabel logaritma dan logaritmik muncul pada abad ke-17, dan signifikansinya sangat besar.

Saat ini, perhitungan tidak sulit - setiap orang memiliki kalkulator. Dan apa yang dianggap di masa "pra-komputer"?

Itu mungkin untuk menambah dan mengurangi pada sempoa, tetapi untuk mengalikan dan membagi "dalam kolom" itu lambat dan sulit.

Pada abad 15-17, di era penemuan geografis yang hebat, perdagangan, ekonomi, dan sains mulai berkembang pesat. Persyaratan untuk matematika bertambah: kalkulasi menjadi lebih kompleks, dan keakuratan - misalnya, untuk memecahkan masalah navigasi - semakin dibutuhkan.

Alat diperlukan untuk menyederhanakan dan mempercepat penghitungan, dan logaritma adalah alat semacam itu.

Misalkan b dan c adalah bilangan besar yang perlu dikalikan. Munculnya tabel logaritma (misalnya, dengan basis 10) telah sangat menyederhanakan tugas ini. Sekarang cukup bagi kalkulator untuk menemukan logaritma desimal dari angka b dan c dari tabel, menambahkannya (pada sempoa) dan mendapatkan logaritma dari produknya: lgb + lgc = lg (bc).

Dan kemudian, menggunakan tabel logaritma, temukan produk dari bilangan c dan b.

Tidak heran ahli matematika dan astronom Prancis Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma memperpanjang umur kalkulator. Aturan geser (yang digunakan para insinyur hingga tahun 70-an abad ke-20) adalah penemuan yang tidak kalah progresifnya dengan kalkulator modern.

Tapi itu belum semuanya! Kita tidak akan berurusan dengan logaritma jika mereka hanya memiliki nilai sejarah, "museum". Kami akan berbicara tentang aplikasi logaritma yang tidak terduga di artikel berikutnya tentang fungsi logaritmik.

Masalah logaritma yang signifikan tidak dapat diselesaikan tanpa mengetahui aturan khusus logaritma. Atau lebih tepatnya, properti utama. Untungnya, properti ini tidak banyak dan tidak akan sulit untuk mempelajarinya. Tetapi Anda perlu mengetahui keduanya dari kiri ke kanan dan dalam arah yang berlawanan.

sumber: Yandex
sumber: Yandex

Mari pertimbangkan properti individu secara lebih detail:

  • Nol logaritmik. Properti dasar yang harus diingat. Apa pun basis logaritma, jika argumennya 1, maka logaritma selalu 0.
  • Satuan logaritmik. Properti sederhana lainnya: jika argumen dan basis logaritma sama, maka nilai logaritma akan sama dengan satu.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Identitas logaritmik dasar. Properti luar biasa yang mengubah ekspresi empat lantai menjadi sangat dasar b. Inti dari rumus ini: basis a, yang dipangkatkan dengan logaritma dengan basis a, akan sama dengan b.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Jumlah logaritma. Saat mengalikan bilangan logaritma, Anda dapat menjadikannya sebagai jumlah dari 2 logaritma, yang memiliki basis yang sama. Dan logaritma tak terhitung menjadi sederhana.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Logaritma hasil bagi. Di sini situasinya mirip dengan jumlah logaritma. Saat membagi angka, kita mendapatkan selisih dua logaritma dengan basis yang sama.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
Periklanan
Periklanan
Tidak setiap siswa mampu menghabiskan satu semester di universitas 100 000 ₽ ... Tapi keren itu ada hibah untuk belajar. Grant-na-vuz.rf ini adalah kesempatan untuk belajar di spesialisasi yang diinginkan. Tautan setiap orang akan menerima bonus dari 300 ₽ sebelum 100 000 ₽ hibah-di-universitas.rf
  • Menghapus eksponen dari logaritma. Sebanyak 3 aturan berlaku di sini. Sederhana saja: jika derajat berada di dasar atau argumen logaritma, maka dapat dipindahkan ke luar logaritma, sesuai dengan rumus berikut:
sumber: Yandex
sumber: Yandex
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Rumus untuk transisi ke basis baru. Mereka dibutuhkan untuk ekspresi dengan logaritma, yang memiliki basis berbeda. Rumus semacam itu terutama digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan dan persamaan logaritmik.
sumber: Yandex
sumber: Yandex

Properti kedua berlaku ketika argumen dan basis logaritma ditukar, dan logaritma ditransfer ke penyebut.

Periklanan
Periklanan
Kami mengingatkan Anda tentang layanan ini hibah-di-universitas.rf ... Jangan lewatkan kesempatan Anda untuk mempelajari apa yang Anda suka. Nah, atau hanya menabung untuk sekolah. Anda pasti akan mendapatkannya dari 300 ₽ sebelum 100 000 ₽, dengan mengklik link tersebut hibah-di-universitas.rf !

Kami telah membahas properti dasar logaritma. Sekarang tidak ada satu pun ketidaksamaan atau persamaan yang tetap tidak terpecahkan;)

Terima kasih telah membaca artikelnya. Jangan lupa tentang berlangganan saluran, dan saya juga merekomendasikan membaca saluran teman-teman kita:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - Prestasi ilmiah terbaru dan praktik pendidikan terbaik.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - PENDIDIKAN TINGGI EROPA. Sebuah perusahaan internasional yang memberikan layanan konsultasi, pendampingan dan informasi di bidang pendidikan tinggi di Eropa. Situs resmi - https://eurounis.com .
Semoga harimu menyenangkan dan jangan sakit.

Добавить комментарий