Logaritmi

Logaritmi

Abbiamo iniziato il nostro precedente articolo sulle equazioni esponenziali con l'equazione 2 x= 8. Tutto era chiaro lì: x = 3.

Considera ora l'equazione 2 x= 7.

Secondo il grafico della funzione y = 2 xvediamo che questa equazione ha una radice e, inoltre, l'unica.

È chiaro che questa radice non è un numero intero (poiché 2 2= 4, 2 3= 8). Inoltre, risulta che non è nemmeno un numero razionale, cioè non può essere rappresentato come una frazione ordinaria. Intuitivamente, sentiamo solo che è inferiore a 3, ma non molto.

Questa radice è indicata come registro 27 (si legge: "logaritmo di sette in base due". È un numero irrazionale, cioè una frazione decimale infinita non periodica. La calcolatrice fornisce: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Quindi, il nostro numero è log 27 è l'esponente a cui 2 deve essere elevato per ottenere 7.

Diamo ora una definizione generale del logaritmo. Siano a> 0 e a ≠ 1 (le condizioni sono le stesse della base della funzione esponenziale).

Definizione. Logaritmo di un numero positivo b in base a (indicato da log ab) è l'esponente a cui a deve essere elevato per ottenere b.

In altre parole,

Per esempio:

perché

, perché

perché ;

, perché .

Viene chiamata la base 10 del logaritmo decimale ed è indicato con lg. Ad esempio, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Viene chiamato il logaritmo in base e naturale ed è indicato con ln.

Nota: il logaritmo è definito solo per numeri positivi. Il motivo è che la funzione esponenziale può assumere solo valori positivi. Ad esempio, il registro dei numeri 2(−4) non esiste: non importa quanto aumentiamo di 2, non otterremo mai −4.

Non dimenticare anche le restrizioni sulla base del logaritmo: 0 <a <1 o a> 1.

Formule di base

Per definizione, log ab è l'esponente a cui il numero a deve essere elevato per ottenere il numero b:

Viene chiamata la formula (1) identità logaritmica di base Ecco un altro modo per scrivere l'identità logaritmica di base:

log aax= x.

Elenchiamo le proprietà dei logaritmi. Sono semplici conseguenze delle regole del potere. Tutti i logaritmi di seguito sono considerati definiti.

Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi:

log a(bc) = log ab + registro ac. (2)

Il logaritmo del quoziente è la differenza tra i logaritmi:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

L'esponente del logaritmo "salta" davanti al logaritmo:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(quattro)

Anche l'esponente della base del logaritmo "salta", ma sotto forma di numero inverso:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(cinque)

Le formule (4) e (5) insieme danno:

(6)

In particolare, se m = n, otteniamo la formula:

(7)

Per esempio, .

Infine, la formula più importante per il passaggio a una nuova fondazione:

(8)

In particolare, se c = b, allora log bb = 1, e quindi:

(9)

Ecco alcuni esempi dalla banca del lavoro. uno. (formula applicata (2) la somma dei logaritmi).

2. (applicata l'identità logaritmica di base (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(abbiamo applicato la formula (4).

quattro. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(formula applicata (9), passando a una nuova base 0,8).

cinque. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(formula applicata (3) la differenza dei logaritmi)

Un po 'di storia

Ora capisci cosa sono i logaritmi e come usarli. Ma a cosa servono? O è solo un gioco di matematica con istruzioni per l'uso intelligenti?

Il concetto di logaritmo e tabelle logaritmiche apparve nel XVII secolo e il loro significato era enorme.

Oggigiorno i calcoli non sono difficili: tutti hanno una calcolatrice. E cosa si considerava in tempi "pre-computer"?

Era possibile sommare e sottrarre sull'abaco, ma moltiplicare e dividere "in una colonna" era lento e difficile.

Nei secoli 15-17, nell'era delle grandi scoperte geografiche, il commercio, l'economia e la scienza iniziarono a svilupparsi rapidamente. I requisiti per la matematica sono cresciuti: i calcoli sono diventati più complessi e l'accuratezza, ad esempio per risolvere i problemi di navigazione, era sempre più necessaria.

Era necessario uno strumento per semplificare e accelerare i calcoli, e i logaritmi erano uno di questi strumenti.

Supponiamo che bec siano numeri grandi che devono essere moltiplicati. L'avvento delle tabelle dei logaritmi (ad esempio, con base 10) ha notevolmente semplificato questo compito. Ora bastava alla calcolatrice trovare i logaritmi decimali dei numeri bec dalle tabelle, aggiungerli (sull'abaco) e ottenere il logaritmo del prodotto: lgb + lgc = lg (bc).

Quindi, usando la tabella dei logaritmi, trova il prodotto stesso dei numeri bec.

Non c'è da stupirsi che il matematico e astronomo francese Laplace abbia affermato che l'invenzione dei logaritmi ha allungato la vita dei calcolatori. Il regolo calcolatore (che gli ingegneri usarono fino agli anni '70 del XX secolo) non fu un'invenzione meno progressista della calcolatrice moderna.

Ma questo non è tutto! Non avremmo a che fare con i logaritmi se avessero solo un valore storico, "museale". Parleremo di applicazioni inaspettate dei logaritmi nel prossimo articolo sulla funzione logaritmica.

Qualsiasi problema logaritmico significativo non può essere risolto senza conoscere le regole speciali dei logaritmi. O meglio, le proprietà principali. Fortunatamente, non ci sono molte di queste proprietà e non sarà difficile apprenderle. Ma devi conoscerli entrambi da sinistra a destra e nella direzione opposta.

fonte: Yandex
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Consideriamo le singole proprietà in modo più dettagliato:

  • Zero logaritmico. Una proprietà elementare che deve essere ricordata. Qualunque sia la base del logaritmo, se l'argomento è 1, il logaritmo è sempre 0.
  • Unità logaritmica. Un'altra semplice proprietà: se l'argomento e la base del logaritmo sono uguali, il valore del logaritmo sarà uguale a uno.
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  • Identità logaritmica di base. Proprietà eccellente che trasforma un'espressione di quattro piani in un b. L'essenza di questa formula: la base a, elevata alla potenza del logaritmo con la base a, sarà uguale a b.
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  • Somma dei logaritmi. Quando si moltiplicano i numeri logaritmici, è possibile farne la somma di 2 logaritmi, che avranno la stessa base. E così i logaritmi incalcolabili diventano semplici.
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  • Logaritmo del quoziente. Qui la situazione è simile alla somma dei logaritmi. Quando dividiamo i numeri, otteniamo la differenza di due logaritmi con la stessa base.
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  • Rimozione dell'esponente dal logaritmo. Fino a 3 regole si applicano qui. È semplice: se il grado è alla base o argomento del logaritmo, allora può essere spostato al di fuori del logaritmo, secondo queste formule:
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  • Formule per il passaggio a una nuova base. Sono necessari per espressioni con logaritmi, che hanno basi diverse. Tali formule vengono utilizzate principalmente per risolvere disequazioni ed equazioni logaritmiche.
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La seconda proprietà si applica quando l'argomento e la base del logaritmo vengono scambiati e il logaritmo viene trasferito al denominatore.

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Abbiamo coperto le proprietà di base dei logaritmi. Ora non una singola disuguaglianza o equazione rimarrà irrisolta;)

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