対数

対数

指数方程式に関する前回の記事は、方程式2から始めました。 x= 8.すべてが明確でした:x = 3。

ここで、方程式2について考えます。 x= 7。

関数y = 2のグラフによると xこの方程式には根があり、さらに唯一の根があることがわかります。

このルートが整数ではないことは明らかです(2以降 2= 4、2 3= 8)。さらに、それは有理数でさえない、つまり通常の分数として表すことができないことがわかります。直感的には、3未満であると感じますが、それほど多くはありません。

このルートはログで示されます 27(読み取り:「7から2を底とする対数」。これは無理数、つまり無限の非周期小数です。計算機は次のようになります。log 27 = 2.807354922057604107..。

だから、私たちの番号はログです 27は、7を取得するために2を累乗する必要がある指数です。

ここで、対数の一般的な定義を示します。 a> 0およびa≠1とします(条件は指数関数の基数の場合と同じです)。

定義。基数aに対する正の数bの対数(logで示される) ab)は、bを取得するためにaを累乗する必要がある指数です。

言い換えると、

例えば:

なぜなら

、なぜなら

なぜなら ;

、なぜなら .

対数の基数10は 10進数 lgで表されます。たとえば、lg 100 = 2、lg 1000 = 3、lg 0.01 = −2です。

eを底とする対数はと呼ばれます ナチュラル lnで表されます。

注意:対数は正の数に対してのみ定義されます。その理由は、指数関数は正の値しかとることができないためです。たとえば、番号ログ 2(-4)は存在しません。いくら2を上げても、-4は得られません。

対数の底の制限も忘れないでください:0 <a <1またはa> 1。

基本的な式

定義上、ログ abは、数値bを取得するために数値aを累乗する必要がある指数です。

式(1)は 基本的な対数単位元 基本的な対数アイデンティティを記述する別の方法は次のとおりです。

ログ aax= x。

対数の性質をリストアップしましょう。それらは、パワールールの単純な結果です。以下のすべての対数は明確であると見なされます。

積の対数は、対数の合計です。

ログ a(bc)=ログ ab +ログ ac。 (2)

商の対数は、対数の差です。

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

対数の指数は、対数の前で「ジャンプ」します。

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(四)

対数の底の指数も「ジャンプ」しますが、逆数の形式です。

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(五)

式(4)と(5)を合わせると、次のようになります。

(6)

特に、m = nの場合、次の式が得られます。

(7)

例えば、 .

最後に、新しい基盤への移行のための最も重要な公式:

(8)

特に、c = bの場合、log bb = 1、そして:

(9)

これがジョブバンクからのいくつかの例です。 1。 (適用された式(2)対数の合計)。

2.2。 (基本的な対数恒等式(1)を適用)

3.3。 log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 =(log _ {\ sqrt {7}} 49)^ {2} =(log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2})^ { 2} =(2log _ {\ sqrt {7}} 7)^ {2} =(2 \ cdot 2)^ {2} = 16(式(4)を適用しました。

四。 log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = -1(式(9)を適用し、新しいベース0.8に渡します)。

五。 \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(適用式(3)対数の差)

ちょっとした歴史

これで、対数とは何か、およびそれらの使用方法を理解できました。しかし、それらは何のためにあるのでしょうか?それとも、それは使用のための巧妙な指示を備えた単なる数学のおもちゃですか?

対数と対数表の概念は17世紀に登場し、その重要性は計り知れませんでした。

最近では、計算は難しくありません-誰もが計算機を持っています。そして、「プレコンピュータ」時代には何が考慮されましたか?

そろばんの足し算と引き算は可能でしたが、「列で」掛け算と割り算をするのは遅くて大変でした。

15〜17世紀、地理的に大きな発見があった時代に、貿易、経済、科学が急速に発展し始めました。数学の要件が高まりました。計算がより複雑になり、たとえばナビゲーションの問題を解決するための精度がますます必要になりました。

計算を単純化および高速化するためのツールが必要であり、対数はそのようなツールでした。

bとcが、乗算する必要のある大きな数であるとします。対数の表(たとえば、基数10)の出現により、このタスクが大幅に簡素化されました。これで、電卓はテーブルから数値bとcの10進数の対数を見つけ、それらを(アカウントに)追加して、積の対数を取得するだけで十分でした:lgb + lgc = lg(bc)。

次に、対数の表を使用して、数値bとcの積そのものを見つけます。

フランスの数学者で天文学者のラプラスが、対数の発明が電卓の寿命を延ばしたと言ったのも不思議ではありません。計算尺(エンジニアが20世紀の70年代まで使用していた)は、現代の電卓と同じくらい進歩的な発明でした。

しかし、それだけではありません!対数が歴史的な「博物館」の価値しかない場合は、対数を扱いません。対数関数に関する次の記事では、対数の予期しない適用について説明します。

重大な対数の問題は、対数の特別な規則を知らなければ解決できません。というか、主なプロパティ。幸いなことに、これらのプロパティの多くはなく、それらを学ぶことは難しくありません。しかし、あなたはそれらを左から右へそして反対方向の両方で知る必要があります。

出典:Yandex
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個々のプロパティについて詳しく見ていきましょう。

  • 対数ゼロ。 覚えておく必要のある基本プロパティ。対数の底が何であれ、引数が1の場合、対数は常に0です。
  • 対数単位。 別の単純なプロパティ:引数と対数の底が同じである場合、対数の値は1に等しくなります。
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  • 基本的な対数単位元。 4階建ての表現を非常に基本的なものに変える優れた特性b。この式の本質:底aとの対数の累乗で累乗された底aは、bに等しくなります。
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  • 対数の合計。 対数を掛けるときは、同じ底を持つ2つの対数の合計にすることができます。そのため、計算不可能な対数は単純になります。
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  • 商の対数。 ここでの状況は、対数の合計に似ています。数値を除算すると、同じ基数を持つ2つの対数の差が得られます。
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  • 対数から指数を削除します。 ここでは3つのルールが適用されます。簡単です。次数が対数の底または引数にある場合は、次の式に従って、対数の外に移動できます。
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  • 新しい拠点への移行の公式。 これらは、基数が異なる対数の式に必要です。このような式は、主に対数の不等式と方程式を解くために使用されます。
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2番目のプロパティは、対数の引数と底が交換され、対数が分母に転送されるときに適用されます。

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対数の基本的な性質について説明しました。これで、単一の不等式や方程式が未解決のままになることはありません;)

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