Логарифмдер

Логарифмдер

Экспоненциалдық теңдеулер туралы алдыңғы мақаламызды 2 теңдеуден бастадық x= 8. Онда бәрі түсінікті болды: x = 3.

Енді 2 теңдеуін қарастырайық x= 7.

У = 2 функциясының графигі бойынша xбіз бұл теңдеудің түбірі бар екенін және оның үстіне жалғыз екенін көреміз.

Бұл түбір бүтін емес екендігі түсінікті (2-ден бастап 2= 4, 2 3= 8). Оның үстіне, бұл тіпті рационалды сан емес, яғни оны жай бөлшек түрінде көрсетуге болмайды. Интуитивті түрде біз оның 3-тен аз екенін сеземіз, бірақ көп емес.

Бұл түбір журналмен белгіленеді 27 (оқылады: «екіге негіздеу үшін жетінің логарифмі». Бұл иррационал сан, яғни шексіз периодты емес ондық бөлшек. Калькулятор: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Сонымен, біздің нөміріміз журнал 27 - 7-ді алу үшін 2-ді көтеру керек көрсеткіш.

Енді логарифмге жалпы анықтама береміз. A> 0 және a ≠ 1 болсын (шарттар экспоненциалды функцияның негізімен бірдей).

Анықтама. А-ны негіздеу үшін b оң санының логарифмі (журналмен белгіленеді ab) b алу үшін а-ны көтеру керек көрсеткіш.

Басқа сөздермен айтқанда,

Мысалы:

өйткені

, өйткені

өйткені ;

, өйткені .

Логарифм негізі 10 деп аталады ондық және lg арқылы белгіленеді. Мысалы, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = -2.

Е негізі бар логарифм деп аталады табиғи және ln арқылы белгіленеді.

Назар аударыңыз: логарифм тек оң сандар үшін анықталады. Себебі, көрсеткіштік функция тек оң мәндерді қабылдай алады. Мысалы, сандар журналы 2(−4) жоқ: біз 2-ді қанша көтерсек те, біз ешқашан get4 алмаймыз.

Логарифм негізіндегі шектеулер туралы ұмытпаңыз: 0 <a <1 немесе a> 1.

Негізгі формулалар

Анықтама бойынша журнал ab - а санын шығару үшін а санын көтеру керек көрсеткіш:

Формула (1) деп аталады негізгі логарифмдік сәйкестілік Негізгі логарифмдік сәйкестікті жазудың тағы бір әдісі:

журнал aax= x.

Логарифмдердің қасиеттерін келтірейік. Олар қуат ережелерінің қарапайым салдары. Төмендегі барлық логарифмдер анықталған болып саналады.

Көбейтіндінің логарифмі - логарифмдердің қосындысы:

журнал a(bc) = журнал ab + log aв. (2)

Бөлшектің логарифмі - логарифмдердің арасындағы айырмашылық:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Логарифмнің көрсеткіші логарифм алдында «секіреді»:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(төрт)

Логарифм негізінің көрсеткіші де «секіреді», бірақ кері сан түрінде:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(бес)

(4) және (5) формулалары бірге:

(6)

Атап айтқанда, егер m = n болса, біз келесі формуланы аламыз:

(7)

Мысалы, .

Соңында, жаңа негізге көшудің маңызды формуласы:

(8)

Атап айтқанда, егер c = b болса, онда журналға жазыңыз bb = 1, содан кейін:

(9)

Мұнда еңбек банкінен бірнеше мысалдар келтірілген. бір. (қолданылатын формула (2) логарифмдердің қосындысы).

2018-04-21 Аттестатта сөйлеу керек (негізгі логарифмдік сәйкестікті қолданды (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(біз формуланы қолдандық (4).

төрт. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(0.8 жаңа базасына өтіп, (9) формула қолданылады).

бес. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(қолданылатын формула (3) логарифмдердің айырмашылығы)

Біраз тарих

Енді сіз логарифмдердің не екенін және оларды қалай қолдануға болатындығын түсінесіз. Бірақ олар не үшін қажет? Немесе бұл жай ғана математикалық ойыншық, оны пайдалану жөніндегі нұсқаулық бар ма?

Логарифм және логарифмдік кестелер ұғымы 17 ғасырда пайда болды және олардың маңызы өте зор болды.

Бұл күндері есептеулер қиын емес - барлығында калькулятор бар. Ал «компьютерге дейінгі» кезеңдерде не қарастырылды?

Абакусты қосуға және азайтуға болатын, бірақ көбейту және бөлу «бағанға» баяу және қиын болды.

15-17 ғасырларда ұлы географиялық ашылулар дәуірінде сауда, экономика және ғылым қарқынды дами бастады. Математикаға қойылатын талаптар өсті: есептеулер күрделене бастады, дәлдік - мысалы, навигация мәселелерін шешу үшін - барған сайын жоғарылау қажет болды.

Есептеулерді жеңілдету және жеделдету үшін құрал қажет болды, ал логарифмдер осындай құрал болды.

B және c - көбейтуді қажет ететін үлкен сандар делік. Логарифм кестелерінің пайда болуы (мысалы, 10 негізімен) бұл тапсырманы едәуір жеңілдетті. Енді калькуляторға кестелерден b және c сандарының ондық логарифмдерін тауып, оларды қосып (абакуста) және туындының логарифмін алу жеткілікті болды: lgb + lgc = lg (bc).

Логарифмдер кестесін пайдаланып, b және c сандарының көбейтіндісін табыңыз.

Француз математигі және астрономы Лаплас логарифмдердің ойлап табылуы калькуляторлардың өмірін ұзартты деп бекер айтпаған. Слайд ережесі (оны инженерлер ХХ ғасырдың 70-жылдарына дейін қолданған) қазіргі калькулятордан кем емес прогрессивті өнертабыс болды.

Бірақ бұл бәрі емес! Логарифмдермен олар тек тарихи, «музейлік» құндылыққа ие болса, айналыспас едік. Логарифмдердің күтпеген қолданылуы туралы логарифмдік функция туралы келесі мақалада айтатын боламыз.

Кез-келген маңызды логарифмдік есепті логарифмдердің арнайы ережелерін білмей шешуге болмайды. Дәлірек айтқанда, негізгі қасиеттері. Бақытымызға орай, бұл қасиеттер көп емес және оларды үйрену қиын болмайды. Бірақ сіз оларды солдан оңға қарай да, кері бағытта да білуіңіз керек.

ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex

Жеке қасиеттерді толығырақ қарастырайық:

  • Логарифмдік нөл. Есте сақтау керек қарапайым қасиет. Логарифмнің негізі қандай болса да, аргумент 1-ге тең болса, логарифм әрқашан 0 болады.
  • Логарифмдік бірлік. Тағы бір қарапайым қасиет: егер логарифмнің дәлелі мен негізі бірдей болса, онда логарифмнің мәні біреуіне тең болады.
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
  • Негізгі логарифмдік сәйкестілік. Төрт қабатты өрнекті өте қарапайым б-ға айналдыратын керемет қасиет. Бұл формуланың мәні: а негізімен логарифм күшіне көтерілген а негізі b-ге тең болады.
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
  • Логарифмдердің қосындысы. Логарифм сандарын көбейту кезінде олардың негізі бірдей болатын 2 логарифмнің қосындысын құруға болады. Сонымен, есептелмейтін логарифмдер қарапайым болады.
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
  • Логарифм. Мұнда жағдай логарифмдердің қосындысына ұқсас. Сандарды бөлу кезінде табаны бірдей екі логарифмнің айырымын аламыз.
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
Жарнама
Жарнама
Семестрді университетте өткізуге кез-келген студенттің мүмкіндігі бола бермейді 100 000 ₽ ... Бірақ бұл керемет гранттар сабаққа. Грант-на-вуз.рф бұл қалаған мамандық бойынша оқу мүмкіндігі. Сілтеме барлығына бонус беріледі 300 ₽ бұрын 100 000 ₽ университет-грант
  • Логарифмнен көрсеткішті алып тастау. Мұнда 3 ереже қолданылады. Бұл қарапайым: егер дәреже логарифмнің негізінде немесе аргументінде болса, онда оны мына формулаларға сәйкес логарифмнен тыс жылжытуға болады:
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex
  • Жаңа базаға өту формулалары. Олар әртүрлі негіздері бар логарифмі бар өрнектерге қажет. Мұндай формулалар негізінен логарифмдік теңсіздіктер мен теңдеулерді шешу үшін қолданылады.
ақпарат көзі: Yandex
ақпарат көзі: Yandex

Екінші қасиет логарифмнің аргументі мен негізін ауыстырған кезде қолданылады, ал логарифм бөлгішке ауысады.

Жарнама
Жарнама
Біз сізге қызмет туралы еске саламыз университет-грант ... Өзіңізге ұнайтын нәрсені білу мүмкіндігін жіберіп алмаңыз. Жақсы, немесе тек мектепке ақша үнемдеңіз. Сіз міндетті түрде аласыз бастап 300 ₽ бұрын 100 000 ₽, сілтемені басу арқылы университет-грант !

Логарифмдердің негізгі қасиеттерін талдадық. Енді ешқандай теңсіздік немесе теңдеу шешілмейді;)

Мақаланы оқығаныңыз үшін рақмет. Арнаға жазылуды ұмытпаңыз, сонымен қатар достарымыздың арнасын оқуды ұсынамын:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - соңғы ғылыми жетістіктер мен үздік білім беру тәжірибелері.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - ЕУРОПАЛЫҚ ЖОҒАРЫ БІЛІМ. Еуропадағы жоғары білім беру саласында консультациялық, ілеспе және ақпараттық қызметтер көрсететін халықаралық компания. Ресми сайт - https://eurounis.com .
Қайырлы күн, ауырмаңыз.

Добавить комментарий