대수

대수

방정식 2를 사용하여 지수 방정식에 대한 이전 기사를 시작했습니다. x= 8. 모든 것이 분명했습니다 : x = 3.

이제 방정식 2를 고려하십시오. x= 7.

함수 y = 2의 그래프에 따르면 x우리는이 방정식이 근을 가지고 있고, 게다가 유일한 것임을 알 수 있습니다.

이 루트는 정수가 아님이 분명합니다 (2 2= 4, 2 3= 8). 또한, 그것은 유리수조차도 아니고, 즉 일반 분수로 표현할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 직관적으로, 우리는 그것이 3보다 작지만 많지는 않다고 느낍니다.

이 루트는 로그로 표시됩니다. 27 (읽기 : "7에서 2를 밑으로하는 로그". 이것은 비합리적인 숫자, 즉 무한한 비 주기적 소수 분수입니다. 계산기는 다음을 제공합니다. log 27 = 2.807354922057604107 ...

그래서 우리의 숫자는 로그입니다. 27은 7을 얻기 위해 2를 올려야하는 지수입니다.

이제 로그의 일반적인 정의를 제공합니다. a> 0 및 a ≠ 1 (조건은 지수 함수의 밑과 동일 함)이라고합니다.

정의. a를 밑으로하는 양수 b의 로그 (log로 표시) ab)는 b를 얻기 위해 a를 올려야하는 지수입니다.

다시 말해,

예를 들면 :

때문에

, 때문에

때문에 ;

, 때문에 .

밑이 10 인 로그가 호출됩니다. 소수 lg로 표시됩니다. 예를 들어, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = -2입니다.

밑이 e 인 로그를 호출합니다. 자연스러운 ln으로 표시됩니다.

참고 : 로그는 양수에 대해서만 정의됩니다. 그 이유는 지수 함수가 양수 값만 취할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 숫자 로그 2(−4)는 존재하지 않습니다 : 2를 아무리 모아도 −4를 얻지 못할 것입니다.

로그 밑수에 대한 제한도 잊지 마십시오 : 0 <a <1 또는 a> 1.

기본 공식

정의에 따라 로그 ab는 숫자 b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야하는 지수입니다.

공식 (1)은 기본 로그 정체성 다음은 기본 로그 ID를 작성하는 또 다른 방법입니다.

로그 aax= x.

로그의 속성을 나열 해 보겠습니다. 그들은 권력 규칙의 단순한 결과입니다. 아래의 모든 로그는 명확한 것으로 간주됩니다.

제품의 로그는 로그의 합계입니다.

로그 a(bc) = 로그 ab + 로그 a씨. (2)

몫의 로그는 로그 간의 차이입니다.

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(삼)

로그의 지수는 로그 앞에서 "점프"합니다.

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(4)

로그 밑의 지수도 "점프"하지만 역수 형식입니다.

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(다섯)

공식 (4) 및 (5)는 함께 다음을 제공합니다.

(6)

특히 m = n이면 다음 공식을 얻습니다.

(7)

예를 들어 .

마지막으로, 새로운 기반으로의 전환을위한 가장 중요한 공식 :

(8)

특히 c = b이면 log bb = 1이면 다음을 수행합니다.

(9)

다음은 직업 은행의 몇 가지 예입니다. 하나. (적용된 공식 (2) 로그의 합).

2. (기본 대수 신분 (1) 적용)

삼. 로그 ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (로그 _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (로그 _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(우리는 공식 (4)를 적용했습니다.

네. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} =-1(공식 (9) 적용, 새 염기 0.8로 전달).

다섯. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(적용된 공식 (3) 로그의 차이)

약간의 역사

이제 로그가 무엇이며 어떻게 사용하는지 이해했습니다. 그러나 그것들은 무엇입니까? 아니면 영리한 사용법이 담긴 수학 장난감일까요?

로그와 로그 테이블의 개념은 17 세기에 나타 났으며 그 중요성은 엄청났습니다.

요즘에는 계산이 어렵지 않습니다. 누구나 계산기를 가지고 있습니다. 그리고 "컴퓨터 이전"시대에는 무엇이 고려 되었습니까?

주판에서 더하고 빼는 것이 가능했지만 "열에서"곱하고 나누는 것은 느리고 어려웠습니다.

15-17 세기, 위대한 지리적 발견 시대에 무역, 경제 및 과학이 빠르게 발전하기 시작했습니다. 수학에 대한 요구 사항이 증가했습니다. 계산이 더 복잡 해졌고, 예를 들어 내비게이션 문제를 해결하기위한 정확성이 점점 더 필요했습니다.

계산을 단순화하고 속도를 높이기위한 도구가 필요했으며 로그는 그러한 도구였습니다.

b와 c를 곱해야하는 큰 숫자라고 가정합니다. 로그 테이블 (예 : 밑이 10 인)의 출현으로이 작업이 크게 단순화되었습니다. 이제 계산기가 테이블에서 숫자 b와 c의 십진 로그를 찾아서 (주판에) 더한 다음 곱의 로그를 구하는 것으로 충분했습니다 : lgb + lgc = lg (bc).

그런 다음 로그 표를 사용하여 숫자 b와 c의 곱을 찾으십시오.

프랑스의 수학자이자 천문학자인 Laplace가 로그의 발명이 계산기의 수명을 연장했다고 말한 것은 놀라운 일이 아닙니다. 슬라이드 규칙 (엔지니어가 20 세기 70 년대까지 사용)은 현대 계산기만큼 진보적 인 발명품이었습니다.

하지만 그게 다가 아닙니다! 로그에 역사적인 "박물관"값만있는 경우 로그를 처리하지 않습니다. 로그 함수에 대한 다음 기사에서 예상치 못한 로그 응용에 대해 이야기 할 것입니다.

로그의 특별한 규칙을 알지 못하면 중요한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또는 오히려 주요 속성입니다. 다행히도 이러한 속성은 많지 않으며 배우는 것이 어렵지 않습니다. 그러나 왼쪽에서 오른쪽으로 그리고 반대 방향으로 그것들을 모두 알아야합니다.

출처 : Yandex
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개별 속성을 더 자세히 고려해 보겠습니다.

  • 대수 0. 기억해야 할 기본 속성입니다. 로그의 밑이 무엇이든, 인수가 1이면 로그는 항상 0입니다.
  • 로그 단위. 또 다른 간단한 속성 : 인수와 로그 밑 수가 같으면 로그 값은 1과 같습니다.
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  • 기본 로그 정체성. 4 층의 표현을 아주 기본적인 표현으로 바꾸는 훌륭한 속성 b. 이 공식의 본질 : a를 밑으로하는 로그의 거듭 제곱으로 올린 밑이 a는 b와 같을 것입니다.
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  • 로그의 합. 로그 숫자를 곱할 때 두 로그의 합을 만들 수 있으며 이는 동일한 밑을 갖게됩니다. 그래서 계산할 수없는 대수는 단순 해집니다.
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  • 몫의 로그. 여기서 상황은 로그의 합과 유사합니다. 숫자를 나눌 때 동일한 밑을 가진 두 로그의 차이를 얻습니다.
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출처 : Yandex
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  • 새로운 기지로의 전환을위한 공식. 밑 수가 다른 로그가있는 표현식에 필요합니다. 이러한 공식은 주로 대수 부등식과 방정식을 해결하는 데 사용됩니다.
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두 번째 속성은 로그의 인수와 밑이 바뀌고 로그가 분모로 전송 될 때 적용됩니다.

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우리는 로그의 기본 속성을 다뤘습니다. 이제 하나의 불평등이나 방정식이 풀리지 않을 것입니다.)

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좋은 하루 되세요. 아프지 마세요.

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