Logaritma

Logaritma

Kami memulakan artikel sebelumnya mengenai persamaan eksponensial dengan persamaan 2 x= 8. Semuanya jelas di sana: x = 3.

Sekarang pertimbangkan persamaan 2 x= 7.

Mengikut graf fungsi y = 2 xkita melihat bahawa persamaan ini mempunyai akar, dan, lebih-lebih lagi, satu-satunya.

Jelas bahawa akar ini bukan bilangan bulat (sejak 2 2= 4, 2 3= 8). Lebih-lebih lagi, ia ternyata bukan bilangan rasional, iaitu tidak dapat digambarkan sebagai pecahan biasa. Secara intuitif, kita hanya merasakan bahawa kurang dari 3, tetapi tidak banyak.

Akar ini dilambangkan log 27 (dibaca: "logaritma tujuh hingga asas dua." Ini adalah nombor yang tidak rasional, iaitu pecahan perpuluhan tak berkala yang tidak terbatas. Kalkulator memberikan: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Jadi, nombor kami adalah log 27 adalah eksponen yang 2 mesti dinaikkan untuk mendapatkan 7.

Kami sekarang memberikan definisi umum mengenai logaritma. Biarkan a> 0 dan a ≠ 1 (syaratnya sama seperti asas fungsi eksponen).

Definisi. Logaritma nombor positif b ke asas a (dilambangkan dengan log ab) adalah eksponen yang mesti dikemukakan untuk mendapatkan b.

Dalam kata lain,

Contohnya:

kerana

, kerana

kerana ;

, kerana .

Pangkalan logaritma 10 dipanggil perpuluhan dan dilambangkan oleh lg. Contohnya, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = −2.

Logaritma dengan asas e disebut semula jadi dan dilambangkan oleh ln.

Harap maklum: logaritma hanya ditentukan untuk nombor positif. Sebabnya ialah fungsi eksponensial hanya dapat mengambil nilai positif. Contohnya, log nombor 2(−4) tidak ada: tidak kira berapa banyak kita menaikkan 2, kita tidak akan pernah mendapat −4.

Jangan lupa juga mengenai sekatan pada asas logaritma: 0 <a <1 atau a> 1.

Rumus asas

Secara definisi, log ab adalah eksponen yang mesti dinaikkan nombor a untuk mendapatkan nombor b:

Formula (1) disebut identiti logaritma asas Berikut adalah kaedah lain untuk menulis identiti logaritma asas:

balak aax= x.

Mari kita senaraikan sifat logaritma. Ini adalah akibat sederhana dari peraturan kuasa. Semua logaritma di bawah dianggap pasti.

Logaritma produk adalah jumlah logaritma:

balak a(bc) = log ab + log ac. (2)

Logaritma bagi hasil adalah perbezaan antara logaritma:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Eksponen logaritma "melompat" di hadapan logaritma:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(empat)

Eksponen asas logaritma juga "melompat", tetapi dalam bentuk nombor terbalik:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(lima)

Rumus (4) dan (5) bersama-sama memberikan:

(6)

Khususnya, jika m = n, kita mendapat formula:

(7)

Contohnya, .

Akhirnya, formula terpenting untuk peralihan ke landasan baru:

(8)

Khususnya, jika c = b, maka log bb = 1, dan kemudian:

(9)

Berikut adalah beberapa contoh dari bank pekerjaan. satu. (formula yang digunakan (2) jumlah logaritma).

2. (menggunakan identiti logaritma asas (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(kami menggunakan formula (4).

empat. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(formula yang digunakan (9), menuju ke pangkalan baru 0.8).

lima. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(formula terpakai (3) perbezaan logaritma)

Sedikit sejarah

Sekarang anda memahami apa itu logaritma dan bagaimana menggunakannya. Tetapi untuk apa itu? Atau adakah ini hanya mainan matematik dengan petunjuk penggunaan yang bijak?

Konsep jadual logaritma dan logaritma muncul pada abad ke-17, dan kepentingannya sangat besar.

Hari-hari ini, pengiraan tidak sukar - setiap orang mempunyai kalkulator. Dan apa yang dipertimbangkan pada masa "pra-komputer"?

Adalah mungkin untuk menambah dan mengurangkan pada sempoa, tetapi untuk membiak dan membahagi "dalam lajur" lambat dan sukar.

Pada abad ke-15-17, di era penemuan geografi yang hebat, perdagangan, ekonomi dan sains mula berkembang pesat. Keperluan untuk matematik bertambah: pengiraan menjadi lebih kompleks, dan ketepatan - misalnya, untuk menyelesaikan masalah navigasi - semakin diperlukan.

Alat diperlukan untuk mempermudah dan mempercepat pengiraan, dan logaritma adalah alat seperti itu.

Katakan b dan c adalah bilangan besar yang perlu didarabkan. Kemunculan jadual logaritma (misalnya, dengan asas 10) telah memudahkan tugas ini. Kini sudah cukup bagi kalkulator untuk mencari logaritma perpuluhan nombor b dan c dari jadual, tambahkannya (pada sempoa) dan dapatkan logaritma produk: lgb + lgc = lg (bc).

Kemudian, dengan menggunakan jadual logaritma, cari produk nombor b dan c.

Tidak hairanlah bahawa ahli matematik dan ahli astronomi Perancis Laplace mengatakan bahawa penemuan logaritma memperpanjang umur kalkulator. Peraturan slaid (yang digunakan jurutera sehingga tahun 70-an abad kedua puluh) tidak kurang merupakan penemuan progresif daripada kalkulator moden.

Tetapi itu bukan semua! Kami tidak akan menangani logaritma jika hanya mempunyai nilai "muzium" sejarah. Kami akan membincangkan mengenai aplikasi logaritma yang tidak dijangka dalam artikel seterusnya mengenai fungsi logaritma.

Sebarang masalah logaritma yang ketara tidak dapat diselesaikan tanpa mengetahui peraturan khas logaritma. Atau lebih tepatnya, sifat utama. Nasib baik, tidak banyak sifat ini dan tidak sukar untuk mempelajarinya. Tetapi anda perlu mengenali mereka dari kiri ke kanan dan ke arah yang bertentangan.

sumber: Yandex
sumber: Yandex

Mari pertimbangkan sifat individu dengan lebih terperinci:

  • Sifar logaritma. Harta dasar yang mesti diingat. Apa pun asas logaritma, jika argumennya adalah 1, maka logaritma selalu 0.
  • Unit logaritma. Satu lagi sifat mudah: jika argumen dan asas logaritma adalah sama, maka nilai logaritma akan sama dengan satu.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Identiti logaritma asas. Harta yang sangat baik yang mengubah ekspresi empat tingkat menjadi sangat asas b. Inti formula ini: asas a, dinaikkan ke kekuatan logaritma dengan asas a, akan sama dengan b.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Jumlah logaritma. Apabila mengalikan nombor logaritma, anda boleh menjadikannya jumlah 2 logaritma, yang akan mempunyai asas yang sama. Oleh itu, logaritma yang tidak dapat dikira menjadi mudah.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Logaritma bagi hasil. Di sini keadaannya serupa dengan jumlah logaritma. Semasa membahagi nombor, kita mendapat perbezaan dua logaritma dengan asas yang sama.
sumber: Yandex
sumber: Yandex
Mengiklankan
Mengiklankan
Tidak setiap pelajar mampu menghabiskan satu semester di universiti 100 000 ₽ ... Tetapi sangat baik bahawa ada geran untuk belajar. Grant-na-vuz.rf ini adalah peluang untuk belajar dalam bidang yang diinginkan. Pautan setiap orang akan mendapat bonus dari 300 ₽ sebelum ini 100 000 ₽ hibah-di-universiti.rf
  • Mengeluarkan eksponen dari logaritma. Sebanyak 3 peraturan terpakai di sini. Sederhana: jika darjah berada di dasar atau argumen logaritma, maka ia boleh dipindahkan ke luar logaritma, sesuai dengan formula berikut:
sumber: Yandex
sumber: Yandex
sumber: Yandex
sumber: Yandex
  • Formula untuk peralihan ke pangkalan baru. Mereka diperlukan untuk ungkapan dengan logaritma, yang mempunyai asas yang berbeza. Rumus seperti ini digunakan terutamanya untuk menyelesaikan ketidaksamaan dan persamaan logaritma.
sumber: Yandex
sumber: Yandex

Properti kedua berlaku apabila argumen dan asas logaritma ditukar, dan logaritma dipindahkan ke penyebut.

Mengiklankan
Mengiklankan
Kami mengingatkan anda tentang perkhidmatan tersebut hibah-di-universiti.rf ... Jangan lepaskan peluang anda untuk belajar apa yang anda suka. Baik, atau hanya menjimatkan wang di sekolah. Anda pasti akan mendapat dari 300 ₽ sebelum ini 100 000 ₽, dengan mengklik pada pautan hibah-di-universiti.rf !

Kami telah merangkumi sifat asas logaritma. Sekarang tidak ada satu ketaksamaan atau persamaan yang tidak dapat diselesaikan;)

Terima kasih kerana membaca artikel tersebut. Jangan lupa untuk melanggan saluran tersebut, dan saya juga mengesyorkan membaca saluran rakan-rakan kami:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - pencapaian ilmiah terkini dan amalan pendidikan terbaik.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - PENDIDIKAN TINGGI EROPAH. Sebuah syarikat antarabangsa yang menyediakan perkhidmatan perundingan, pendamping dan maklumat dalam bidang pendidikan tinggi di Eropah. Laman rasmi - https://eurounis.com .
Semoga sihat dan jangan jatuh sakit.

Добавить комментарий