Logaritmen

Logaritmen

We zijn ons vorige artikel over exponentiële vergelijkingen begonnen met vergelijking 2 x= 8. Alles was daar duidelijk: x = 3.

Beschouw nu de vergelijking 2 x= 7.

Volgens de grafiek van de functie y = 2 xwe zien dat deze vergelijking een wortel heeft, en bovendien de enige.

Het is duidelijk dat deze wortel geen geheel getal is (aangezien 2 2= 4, 2 3= 8). Bovendien blijkt dat het niet eens een rationaal getal is, dat wil zeggen dat het niet kan worden weergegeven als een gewone breuk. Intuïtief voelen we alleen dat het minder is dan 3, maar niet veel.

Deze root wordt log genoemd 27 (luidt: "logaritme met grondtal twee." Het is een irrationeel getal, dat wil zeggen een oneindige niet-periodieke decimale breuk. De rekenmachine geeft: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Dus ons nummer is een logboek 27 is de exponent waarnaar 2 moet worden verhoogd om 7 te krijgen.

We geven nu een algemene definitie van de logaritme. Laat a> 0 en a ≠ 1 (de voorwaarden zijn hetzelfde als voor de basis van de exponentiële functie).

Definitie. Logaritme van een positief getal b met basis a (aangegeven met log ab) is de exponent waarnaar a moet worden verhoogd om b te krijgen.

Met andere woorden,

Bijvoorbeeld:

omdat

, omdat

omdat ;

, omdat .

Logaritme-grondtal 10 wordt aangeroepen decimale en wordt aangeduid met lg. Bijvoorbeeld: lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

De logaritme met grondtal e wordt genoemd natuurlijk en wordt aangeduid met ln.

Let op: de logaritme wordt alleen gedefinieerd voor positieve getallen. De reden is dat de exponentiële functie alleen positieve waarden kan aannemen. Bijvoorbeeld het nummerlogboek 2(−4) bestaat niet: ongeacht de mate waarin we 2 verhogen, zullen we nooit −4 krijgen.

Vergeet de beperkingen op basis van de logaritme niet: 0 <a <1 of a> 1.

Basisformules

Per definitie log ab is de exponent waarnaar het getal a moet worden verhoogd om het getal b te krijgen:

Formule (1) wordt genoemd de logaritmische basisidentiteit Hier is een andere manier om de logaritmische basisidentiteit te schrijven:

logboek aax= x.

Laten we de eigenschappen van logaritmen opsommen. Het zijn simpele gevolgen van de machtsregels. Alle onderstaande logaritmen worden als definitief beschouwd.

De logaritme van het product is de som van de logaritmen:

logboek a(bc) = logboek ab + logboek ac. (2)

De logaritme van het quotiënt is het verschil tussen de logaritmen:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

De exponent van de logaritme 'springt' voor de logaritme:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(vier)

De exponent van de basis van de logaritme "springt" ook, maar dan in de vorm van een invers getal:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(vijf)

Formules (4) en (5) geven samen:

(6)

In het bijzonder, als m = n, krijgen we de formule:

(7)

Bijvoorbeeld, .

Tot slot de belangrijkste formule voor de overgang naar een nieuwe stichting:

(8)

In het bijzonder, als c = b, log dan in bb = 1, en dan:

(9)

Hier zijn enkele voorbeelden uit de banenbank. een. (toegepaste formule (2) de som van logaritmen).

2. (toegepaste logaritmische basisidentiteit (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(toegepaste formule (4).

vier. log_ {0,8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0,8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0,8} 1,25} {log_ {0,8} 3} = log_ {0,8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(toegepaste formule (9), overgaand naar een nieuwe basis 0,8).

vijf. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(toegepaste formule (3) verschil in logaritmen)

Een beetje geschiedenis

Nu begrijp je wat logaritmen zijn en hoe je ze moet gebruiken. Maar waar zijn ze voor? Of is het gewoon een rekenspeelgoed met slimme gebruiksaanwijzingen?

Het concept van een logaritme en logaritmische tabellen verscheen in de 17e eeuw, en hun belang was enorm.

Tegenwoordig zijn berekeningen niet moeilijk - iedereen heeft een rekenmachine. En wat werd er in "pre-computer" tijden overwogen?

Het was mogelijk om op de telraam op te tellen en af ​​te trekken, maar vermenigvuldigen en delen "in een kolom" ging langzaam en moeilijk.

In de 15-17e eeuw, in het tijdperk van grote geografische ontdekkingen, begonnen handel, economie en wetenschap zich snel te ontwikkelen. De eisen voor wiskunde groeiden: de berekeningen werden complexer en de nauwkeurigheid, bijvoorbeeld voor het oplossen van navigatieproblemen, was steeds meer nodig.

Er was een hulpmiddel nodig om de berekeningen te vereenvoudigen en te versnellen, en logaritmen waren zo'n hulpmiddel.

Stel dat b en c grote getallen zijn die moeten worden vermenigvuldigd. De komst van logaritme-tabellen (bijvoorbeeld met grondtal 10) heeft deze taak aanzienlijk vereenvoudigd. Nu was het voldoende voor de rekenmachine om de decimale logaritmen van de getallen b en c uit de tabellen te vinden, ze toe te voegen (op de rekeningen) en de logaritme van het product te krijgen: lgb + lgc = lg (bc).

En zoek dan, met behulp van de logaritme-tabel, het product van de getallen b en c.

Geen wonder dat de Franse wiskundige en astronoom Laplace zei dat de uitvinding van logaritmen de levensduur van rekenmachines verlengde. De rekenliniaal (die ingenieurs gebruikten tot de jaren 70 van de twintigste eeuw) was niet minder vooruitstrevend dan de moderne rekenmachine.

Maar dat is niet alles! We zouden niet met logaritmen te maken hebben als ze alleen historische, 'museum'-waarde hadden. We zullen het hebben over onverwachte toepassingen van logaritmen in het volgende artikel over de logaritmische functie.

Elk significant logaritmisch probleem kan niet worden opgelost zonder de speciale regels van logaritmen te kennen. Of beter gezegd, de belangrijkste eigenschappen. Gelukkig zijn er niet veel van deze eigenschappen en zal het niet moeilijk zijn om ze te leren. Maar je moet ze zowel van links naar rechts als in de tegenovergestelde richting kennen.

bron: Yandex
bron: Yandex

Laten we de individuele eigenschappen in meer detail bekijken:

  • Logaritmische nul. Een elementaire eigenschap die moet worden onthouden. Ongeacht de grondslag van de logaritme, als het argument 1 is, is de logaritme altijd 0.
  • Logaritmische eenheid. Nog een eenvoudige eigenschap: als het argument en de grondslag van de logaritme hetzelfde zijn, dan is de waarde van de logaritme gelijk aan één.
bron: Yandex
bron: Yandex
  • Logaritmische basisidentiteit. Uitstekende eigenschap die een uitdrukking van vier verdiepingen verandert in een zeer eenvoudige b. De essentie van deze formule: het grondtal a, verheven tot de macht van de logaritme met het grondtal a, is gelijk aan b.
bron: Yandex
bron: Yandex
  • Som van logaritmen. Als u logaritme-getallen vermenigvuldigt, kunt u er de som van 2 logaritmen van maken, die dezelfde basis hebben. En zo worden de onberekenbare logaritmen eenvoudig.
bron: Yandex
bron: Yandex
  • Logaritme van het quotiënt. Hier is de situatie vergelijkbaar met de som van logaritmen. Bij het delen van getallen krijgen we het verschil van twee logaritmen met hetzelfde grondtal.
bron: Yandex
bron: Yandex
Adverteren
Adverteren
Niet elke student kan het zich veroorloven om een ​​semester aan een universiteit te studeren 100.000 ₽ ​Maar het is cool dat er is subsidies studeren. Grant-na-vuz.rf dit is de mogelijkheid om te studeren in de gewenste specialiteit. Koppeling iedereen krijgt een bonus van 300 ₽ voordat 100.000 ₽ subsidie-op-university.rf
  • De exponent verwijderen uit de logaritme. Hier zijn maar liefst 3 regels van toepassing. Het is simpel: als de graad aan de basis of het argument van de logaritme staat, kan deze buiten de logaritme worden verplaatst, in overeenstemming met deze formules:
bron: Yandex
bron: Yandex
bron: Yandex
bron: Yandex
  • Formules voor de overgang naar een nieuwe basis. Ze zijn nodig voor uitdrukkingen met logaritmen, die verschillende grondslagen hebben. Dergelijke formules worden voornamelijk gebruikt om logaritmische ongelijkheden en vergelijkingen op te lossen.
bron: Yandex
bron: Yandex

De tweede eigenschap is van toepassing wanneer het argument en de grondtal van de logaritme worden verwisseld en de logaritme wordt overgedragen naar de noemer.

Adverteren
Adverteren
We herinneren je aan de service subsidie-op-university.rf ​Mis uw kans niet om te leren wat u leuk vindt. Of bespaar gewoon geld op school. U krijgt zeker van 300 ₽ voordat 100.000 ₽, door op de link te klikken subsidie-op-university.rf !

We hebben de basiseigenschappen van logaritmen besproken. Nu zal geen enkele ongelijkheid of vergelijking onopgelost blijven;)

Bedankt voor het lezen van het artikel. Vergeet niet om je op het kanaal te abonneren, en ik raad ook aan om het kanaal van onze vrienden te lezen:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - de laatste wetenschappelijke prestaties en de beste onderwijspraktijken.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPEES HOGER ONDERWIJS. Een internationaal bedrijf dat advies-, begeleidings- en informatiediensten levert op het gebied van hoger onderwijs in Europa. Officiële site - https://eurounis.com .
Een fijne dag verder en niet ziek worden.

Добавить комментарий