Logaritmer

Logaritmer

Vi startet vår forrige artikkel om eksponensielle ligninger med ligning 2 x= 8. Alt var klart der: x = 3.

Vurder nå ligningen 2 x= 7.

I henhold til grafen til funksjonen y = 2 xvi ser at denne ligningen har en rot, og dessuten den eneste.

Det er klart at denne roten ikke er et helt tall (siden 2 2= 4, 2 3= 8). Dessuten viser det seg at det ikke engang er et rasjonelt tall, det vil si at det ikke kan fremstilles som en vanlig brøk. Intuitivt føler vi bare at det er mindre enn 3, men ikke mye.

Denne roten er betegnet logg 27 (lyder: "logaritme på syv til base to." Det er et irrasjonelt tall, det vil si en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk. Kalkulatoren gir: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Så nummeret vårt er logg 27 er eksponenten som 2 må heves til for å få 7.

Vi gir nå en generell definisjon av logaritmen. La a> 0 og a ≠ 1 (forholdene er de samme som for basen til den eksponensielle funksjonen).

Definisjon. Logaritme med et positivt tall b for å basere a (betegnet med log ab) er eksponenten som a må reises for å få b.

Med andre ord,

For eksempel:

fordi

, fordi

fordi ;

, fordi .

Logaritmebase 10 kalles desimal og er betegnet med lg. For eksempel, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritmen med base e kalles naturlig og er betegnet med ln.

Merk: logaritmen er bare definert for positive tall. Årsaken er at den eksponensielle funksjonen bare kan ta positive verdier. For eksempel tallloggen 2(−4) eksisterer ikke: uansett hvor mye vi hever 2, får vi aldri −4.

Ikke glem også restriksjonene på basen av logaritmen: 0 <a <1 eller a> 1.

Grunnleggende formler

Per definisjon, logg ab er eksponenten som tallet a må heves for å få tallet b:

Formel (1) kalles grunnleggende logaritmisk identitet Her er en annen måte å skrive den grunnleggende logaritmiske identiteten på:

Logg aax= x.

La oss liste opp egenskapene til logaritmer. De er enkle konsekvenser av maktreglene. Alle logaritmer nedenfor anses som bestemte.

Produktets logaritme er summen av logaritmene:

Logg a(bc) = logg ab + logg ac. (2)

Logaritmen til kvotienten er forskjellen mellom logaritmene:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Eksponenten til logaritmen "hopper" foran logaritmen:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(fire)

Eksponenten til basen av logaritmen "hopper" også, men i form av et omvendt tall:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(fem)

Formlene (4) og (5) gir sammen:

(6)

Spesielt, hvis m = n, får vi formelen:

(7)

For eksempel, .

Til slutt, den viktigste formelen for overgangen til et nytt fundament:

(8)

Spesielt, hvis c = b, logg deretter bb = 1, og deretter:

(9)

Her er noen eksempler fra jobbbanken. en. (anvendt formel (2) summen av logaritmer).

2. (anvendt den grunnleggende logaritmiske identiteten (1))

3. logg {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(vi brukte formel (4).

fire. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(anvendt formel (9), overføring til en ny base 0,8).

fem. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(anvendt formel (3) forskjellen mellom logaritmer)

Litt historie

Nå forstår du hva logaritmer er og hvordan du bruker dem. Men hva er de til? Eller er det bare et matte leketøy med smarte bruksanvisninger?

Konseptet med logaritme og logaritmiske tabeller dukket opp på 1600-tallet, og deres betydning var enorm.

I disse dager er ikke beregninger vanskelig - alle har en kalkulator. Og hva ble vurdert i "pre-computer" ganger?

Det var mulig å legge til og trekke fra kulerammen, men å formere seg og dele "i en kolonne" var sakte og vanskelig.

I det 15. og 17. århundre, i en tid med store geografiske funn, begynte handel, økonomi og vitenskap å utvikle seg raskt. Kravene til matematikk vokste: beregningene ble mer komplekse, og nøyaktigheten - for eksempel for å løse navigasjonsproblemer - var nødvendig mer og mer.

Et verktøy var nødvendig for å forenkle og øke hastigheten på beregningene, og logaritmer var et slikt verktøy.

Anta at b og c er store tall som må multipliseres. Ankomsten av tabeller med logaritmer (for eksempel med base 10) har i stor grad forenklet denne oppgaven. Nå var det nok for kalkulatoren å finne desimallogaritmene til tallene b og c fra tabellene, legge dem til (på kulerammen) og få logaritmen til produktet: lgb + lgc = lg (bc).

Og finn ved hjelp av tabellen over logaritmer selve produktet av tallene b og c.

Ikke rart at den franske matematikeren og astronomen Laplace sa at oppfinnelsen av logaritmer forlenget levetiden til kalkulatorene. Lysbildesregelen (som ingeniører brukte til 70-tallet av det tjuende århundre) var ikke mindre progressiv oppfinnelse enn den moderne kalkulatoren.

Men det er ikke alt! Vi ville ikke håndtere logaritmer hvis de bare hadde historisk "museum" -verdi. Vi vil snakke om uventede anvendelser av logaritmer i neste artikkel om den logaritmiske funksjonen.

Ethvert betydelig logaritmisk problem kan ikke løses uten å kjenne de spesielle reglene for logaritmer. Eller rettere sagt de viktigste egenskapene. Heldigvis er det ikke mange av disse egenskapene, og det vil ikke være vanskelig å lære dem. Men du må kjenne dem både fra venstre til høyre og i motsatt retning.

kilde: Yandex
kilde: Yandex

La oss se nærmere på individuelle egenskaper:

  • Logaritmisk null. En elementær eiendom som må huskes. Uansett logaritmens basis, hvis argumentet er 1, så er logaritmen alltid 0.
  • Logaritmisk enhet. En annen enkel egenskap: hvis argumentet og basen til logaritmen er den samme, vil logaritmens verdi være lik en.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Grunnleggende logaritmisk identitet. Utmerket egenskap som gjør et fireetasjes uttrykk til et veldig grunnleggende b. Essensen av denne formelen: basen a, hevet til logaritmens kraft med basen a, vil være lik b.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Summen av logaritmer. Når du multipliserer logaritmetall, kan du gjøre av dem summen av to logaritmer, som vil ha samme base. Og så blir de uberegnelige logaritmene enkle.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Logaritmen til kvotienten. Her er situasjonen lik summen av logaritmer. Når vi deler tall, får vi forskjellen på to logaritmer med samme base.
kilde: Yandex
kilde: Yandex
Reklame
Reklame
Ikke alle studenter har råd til å tilbringe et semester ved et universitet 100 000 ₽ ... Men det er kult at det er det tilskudd å studere. Grant-na-vuz.rf dette er muligheten til å studere i ønsket spesialitet. Link alle vil motta en bonus fra 300 ₽ før 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Fjerne eksponenten fra logaritmen. Så mange som 3 regler gjelder her. Det er enkelt: Hvis graden ligger til grunn eller argumentet til logaritmen, kan den flyttes utenfor logaritmen, i samsvar med disse formlene:
kilde: Yandex
kilde: Yandex
kilde: Yandex
kilde: Yandex
  • Formler for overgangen til en ny base. De er nødvendige for uttrykk med logaritmer, som har forskjellige baser. Slike formler brukes hovedsakelig for å løse logaritmiske ulikheter og ligninger.
kilde: Yandex
kilde: Yandex

Den andre egenskapen gjelder når argumentet og basen til logaritmen byttes, og logaritmen overføres til nevneren.

Reklame
Reklame
Vi minner deg om tjenesten grant-at-university.rf ... Ikke gå glipp av sjansen din til å lære hva du liker. Vel, eller bare spar penger på skolen. Du vil definitivt få fra 300 ₽ før 100 000 ₽, ved å klikke på lenken grant-at-university.rf !

Vi har dekket de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Nå vil ikke en eneste ulikhet eller ligning forbli uløst;)

Takk for at du leste artikkelen. Ikke glem å abonnere på kanalen, og jeg anbefaler også å lese kanalen til vennene våre:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - de nyeste vitenskapelige prestasjonene og de beste pedagogiske metodene.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPEISK HØYERE UTDANNING. Et internasjonalt selskap som tilbyr konsulent-, ledsager- og informasjonstjenester innen høyere utdanning i Europa. Offisiell side - https://eurounis.com .
Ha en fin dag og ikke bli syk.

Добавить комментарий