Logarytmy

Logarytmy

Nasz poprzedni artykuł o równaniach wykładniczych rozpoczęliśmy od równania 2 x= 8. Wszystko było tam jasne: x = 3.

Rozważmy teraz równanie 2 x= 7.

Zgodnie z wykresem funkcji y = 2 xwidzimy, że to równanie ma pierwiastek, a ponadto jedyny.

Oczywiste jest, że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą (ponieważ 2 2= 4, 2 3= 8). Ponadto okazuje się, że nie jest to nawet liczba wymierna, to znaczy nie można jej przedstawić jako zwykłego ułamka. Intuicyjnie czujemy tylko, że jest to mniej niż 3, ale niewiele.

Ten katalog główny jest oznaczony jako dziennik 27 (czyta: „logarytm o podstawie dwa”. Jest to liczba niewymierna, to znaczy nieskończona nieokresowa część dziesiętna. Kalkulator podaje: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Więc nasz numer to log 27 to wykładnik, do którego należy podnieść 2, aby uzyskać 7.

Podamy teraz ogólną definicję logarytmu. Niech a> 0 i a ≠ 1 (warunki są takie same, jak dla podstawy funkcji wykładniczej).

Definicja. Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (oznaczony przez log ab) jest wykładnikiem, do którego a musi zostać podniesione, aby otrzymać b.

Innymi słowy,

Na przykład:

dlatego

, dlatego

dlatego ;

, dlatego .

Nazywa się logarytm o podstawie 10 dziesiętny i jest oznaczony przez lg. Na przykład lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Nazywa się logarytm o podstawie e naturalny i jest oznaczony przez ln.

Uwaga: logarytm jest definiowany tylko dla liczb dodatnich. Powodem jest to, że funkcja wykładnicza może przyjmować tylko wartości dodatnie. Na przykład dziennik numerów 2(-4) nie istnieje: bez względu na stopień podniesienia 2, nigdy nie osiągniemy −4.

Nie zapomnij o ograniczeniach na podstawie logarytmu: 0 <a <1 lub a> 1.

Podstawowe wzory

Z definicji log ab jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę a, aby uzyskać liczbę b:

Nazywa się wzór (1) podstawowa tożsamość logarytmiczna Oto inny sposób zapisania podstawowej tożsamości logarytmicznej:

log aax= x.

Wymieńmy właściwości logarytmów. Są to proste konsekwencje reguł władzy. Wszystkie poniższe logarytmy są uważane za określone.

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów:

log a(bc) = log ab + log ado. (2)

Logarytm ilorazu to różnica między logarytmami:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Wykładnik logarytmu „przeskakuje” przed logarytm:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(cztery)

Wykładnik podstawy logarytmu również „przeskakuje”, ale w postaci liczby odwrotnej:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(pięć)

Wzory (4) i (5) razem dają:

(6)

W szczególności, jeśli m = n, otrzymujemy wzór:

(7)

Na przykład, .

Wreszcie najważniejsza formuła przejścia do nowej fundacji:

(8)

W szczególności, jeśli c = b, to log bb = 1, a następnie:

(9)

Oto kilka przykładów z banku pracy. jeden. (zastosowana formuła (2) suma logarytmów).

2. (zastosowano podstawową tożsamość logarytmiczną (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(zastosowany wzór (4).

cztery. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1,25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(zastosowany wzór (9), przechodząc do nowej podstawy 0,8).

pięć. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(zastosowana formuła (3) różnica logarytmów)

Trochę historii

Teraz rozumiesz, czym są logarytmy i jak ich używać. Ale do czego one służą? A może to tylko zabawka matematyczna ze sprytnymi instrukcjami użytkowania?

Pojęcie logarytmu i tablic logarytmicznych pojawiło się w XVII wieku, a ich znaczenie było ogromne.

W dzisiejszych czasach obliczenia nie są trudne - każdy ma kalkulator. A co było rozważane w czasach „przed komputerem”?

Na liczydle można było dodawać i odejmować, ale mnożenie i dzielenie „w kolumnie” było powolne i trudne.

W XV-17 wieku, w dobie wielkich odkryć geograficznych, handel, ekonomia i nauka zaczęły się szybko rozwijać. Wzrosły wymagania matematyczne: obliczenia stały się bardziej złożone, a dokładność - na przykład przy rozwiązywaniu problemów nawigacyjnych - była coraz bardziej potrzebna.

Potrzebne było narzędzie upraszczające i przyspieszające obliczenia, a takim narzędziem były logarytmy.

Załóżmy, że b i c to duże liczby, które należy pomnożyć. Pojawienie się tablic logarytmów (na przykład o podstawie 10) znacznie uprościło to zadanie. Teraz wystarczyło kalkulatorowi znaleźć logarytmy dziesiętne liczb b i c z tabel, dodać je (na liczydle) i uzyskać logarytm iloczynu: lgb + lgc = lg (bc).

Następnie, korzystając z tabeli logarytmów, znajdź sam iloczyn liczb b i c.

Nic dziwnego, że francuski matematyk i astronom Laplace powiedział, że wynalezienie logarytmów wydłużyło żywotność kalkulatorów. Suwak logarytmiczny (używany przez inżynierów do lat 70. XX wieku) był nie mniej postępowym wynalazkiem niż współczesny kalkulator.

Ale to nie wszystko! Nie zajmowalibyśmy się logarytmami, gdyby miały one jedynie wartość historyczną, „muzealną”. O nieoczekiwanych zastosowaniach logarytmów porozmawiamy w następnym artykule o funkcji logarytmicznej.

Żaden znaczący problem logarytmiczny nie może zostać rozwiązany bez znajomości specjalnych reguł logarytmów. A raczej główne właściwości. Na szczęście tych właściwości jest niewiele i nie będzie trudno się ich nauczyć. Ale musisz je znać zarówno od lewej do prawej, jak i w przeciwnym kierunku.

źródło: Yandex
źródło: Yandex

Rozważmy bardziej szczegółowo poszczególne właściwości:

  • Zero logarytmiczne. Elementarna właściwość, o której należy pamiętać. Niezależnie od podstawy logarytmu, jeśli argumentem jest 1, to logarytm jest zawsze równy 0.
  • Jednostka logarytmiczna. Kolejna prosta właściwość: jeśli argument i podstawa logarytmu są takie same, to wartość logarytmu będzie równa jeden.
źródło: Yandex
źródło: Yandex
  • Podstawowa tożsamość logarytmiczna. Doskonała właściwość, która zmienia czteropiętrowe wyrażenie w bardzo podstawowe b. Istota tego wzoru: podstawa a, podniesiona do potęgi logarytmu z podstawą a, będzie równa b.
źródło: Yandex
źródło: Yandex
  • Suma logarytmów. Mnożąc liczby logarytmiczne, możesz uczynić z nich sumę 2 logarytmów, które będą miały tę samą podstawę. I tak nieobliczalne logarytmy stają się proste.
źródło: Yandex
źródło: Yandex
  • Logarytm ilorazu. Tutaj sytuacja jest podobna do sumy logarytmów. Dzieląc liczby, otrzymujemy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie.
źródło: Yandex
źródło: Yandex
Reklama
Reklama
Nie każdego studenta stać na semestr na uczelni 100 000 ₽ ... Ale fajnie, że tak jest dotacje uczyć się. Grant-na-vuz.rf to jest możliwość studiowania w wybranej specjalności. Połączyć każdy otrzyma bonus od 300 ₽ przed 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Usunięcie wykładnika z logarytmu. Obowiązują tu aż 3 zasady. To proste: jeśli stopień jest u podstawy lub argumentu logarytmu, to można go przesunąć poza logarytm, zgodnie z poniższymi wzorami:
źródło: Yandex
źródło: Yandex
źródło: Yandex
źródło: Yandex
  • Formuły przejścia do nowej bazy. Są potrzebne do wyrażeń z logarytmami, które mają różne podstawy. Takie wzory są używane głównie do rozwiązywania nierówności i równań logarytmicznych.
źródło: Yandex
źródło: Yandex

Druga właściwość ma zastosowanie, gdy argument i podstawa logarytmu są zamienione, a logarytm jest przenoszony do mianownika.

Reklama
Reklama
Przypominamy o usłudze grant-at-university.rf ... Nie przegap swojej szansy, aby dowiedzieć się, co lubisz. Cóż, albo po prostu zaoszczędź na szkole. Na pewno dostaniesz od 300 ₽ przed 100 000 ₽, klikając link grant-at-university.rf !

Przeanalizowaliśmy podstawowe własności logarytmów. Teraz żadna nierówność ani równanie nie pozostanie nierozwiązane;)

Dziękuję za przeczytanie artykułu. Nie zapomnij o zasubskrybowaniu kanału, a także polecam przeczytanie kanału naszych znajomych:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - najnowsze osiągnięcia naukowe i najlepsze praktyki edukacyjne.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPEJSKIE SZKOLNICTWO WYŻSZE. Międzynarodowa firma świadcząca usługi doradcze, towarzyszące i informacyjne w zakresie szkolnictwa wyższego w Europie. Oficjalna strona - https://eurounis.com .
Miłego dnia i nie choruj.

Добавить комментарий