Logaritmos

Logaritmos

Começamos nosso artigo anterior sobre equações exponenciais com a equação 2 x= 8. Tudo estava claro lá: x = 3.

Agora considere a equação 2 x= 7.

De acordo com o gráfico da função y = 2 xvemos que essa equação tem uma raiz e, além disso, a única.

É claro que esta raiz não é um número inteiro (uma vez que 2 2= 4, 2 3= 8). Além disso, verifica-se que não é nem mesmo um número racional, ou seja, não pode ser representado como uma fração ordinária. Intuitivamente, sentimos apenas que é menos de 3, mas não muito.

Esta raiz é denotada como log 27 (lê-se: “logaritmo de sete para base dois.” É um número irracional, ou seja, uma fração decimal não periódica infinita. A calculadora dá: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Então, nosso número é log 27 é o expoente para o qual 2 deve ser elevado para obter 7.

Agora fornecemos uma definição geral do logaritmo. Sejam a> 0 e a ≠ 1 (as condições são as mesmas da base da função exponencial).

Definição. Logaritmo de um número positivo b para basear a (denotado por log ab) é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b.

Em outras palavras,

Por exemplo:

Porque

, Porque

Porque ;

, Porque .

O logaritmo de base 10 é chamado decimal e é denotado por lg. Por exemplo, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

O logaritmo com base e é chamado natural e é denotado por ln.

Observação: o logaritmo é definido apenas para números positivos. O motivo é que a função exponencial só pode assumir valores positivos. Por exemplo, o registro do número 2(−4) não existe: não importa o quanto aumentemos 2, nunca obteremos −4.

Não se esqueça também das restrições na base do logaritmo: 0 <a <1 ou a> 1.

Fórmulas básicas

Por definição, log ab é o expoente para o qual o número a deve ser elevado para obter o número b:

Fórmula (1) é chamada identidade logarítmica básica Aqui está outra maneira de escrever a identidade logarítmica básica:

registro aax= x.

Vamos listar as propriedades dos logaritmos. São simples consequências das regras de poder. Todos os logaritmos abaixo são considerados definitivos.

O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos:

registro a(bc) = log ab + log ac. (2)

O logaritmo do quociente é a diferença entre os logaritmos:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

O expoente do logaritmo "salta" na frente do logaritmo:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(quatro)

O expoente da base do logaritmo também "salta", mas na forma de um número inverso:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(cinco)

As fórmulas (4) e (5) juntas fornecem:

(6)

Em particular, se m = n, obtemos a fórmula:

(7)

Por exemplo, .

Finalmente, a fórmula mais importante para a transição para uma nova base:

(8)

Em particular, se c = b, então log bb = 1, e então:

(9)

Aqui estão alguns exemplos do banco de empregos. 1. (fórmula aplicada (2) a soma dos logaritmos).

2 (aplicou a identidade logarítmica básica (1))

3 log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(aplicamos a fórmula (4).

quatro. log_ {0,8} 3 \ cdot log_ {3} 1,25 = log_ {0,8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0,8} 1,25} {log_ {0,8} 3} = log_ {0,8} 1,25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(fórmula aplicada (9), passando para uma nova base 0,8).

cinco. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(fórmula aplicada (3) a diferença de logaritmos)

Um pouco de historia

Agora você entende o que são logaritmos e como usá-los. Mas para que servem? Ou é apenas um brinquedo matemático com instruções inteligentes de uso?

O conceito de logaritmo e tabelas logarítmicas surgiu no século 17, e seu significado era enorme.

Hoje em dia, os cálculos não são difíceis - todo mundo tem uma calculadora. E o que era considerado na época do "pré-computador"?

Era possível somar e subtrair no ábaco, mas multiplicar e dividir "em uma coluna" era lento e difícil.

Nos séculos 15-17, na era das grandes descobertas geográficas, o comércio, a economia e a ciência começaram a se desenvolver rapidamente. Os requisitos para a matemática aumentaram: os cálculos tornaram-se mais complexos e a precisão - por exemplo, para resolver problemas de navegação - era cada vez mais necessária.

Era necessária uma ferramenta para simplificar e acelerar os cálculos, e os logaritmos eram essa ferramenta.

Suponha que bec sejam números grandes que precisam ser multiplicados. O advento de tabelas de logaritmos (por exemplo, com base 10) simplificou muito essa tarefa. Agora bastava a calculadora encontrar os logaritmos decimais dos números bec das tabelas, adicioná-los (no ábaco) e obter o logaritmo do produto: lgb + lgc = lg (bc).

E então, usando a tabela de logaritmos, encontre o próprio produto dos números be c.

Não é à toa que o matemático e astrônomo francês Laplace disse que a invenção dos logaritmos prolongou a vida das calculadoras. A régua de cálculo (que os engenheiros usaram até os anos 70 do século XX) não foi uma invenção menos progressiva do que a calculadora moderna.

Mas isso não é tudo! Não lidaríamos com logaritmos se eles tivessem apenas valor histórico, "museu". Falaremos sobre aplicações inesperadas de logaritmos no próximo artigo sobre a função logarítmica.

Qualquer problema logarítmico significativo não pode ser resolvido sem conhecer as regras especiais dos logaritmos. Ou melhor, as propriedades principais. Felizmente, não existem muitas dessas propriedades e não será difícil aprendê-las. Mas você precisa conhecê-los da esquerda para a direita e na direção oposta.

fonte: Yandex
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Vamos considerar as propriedades individuais em mais detalhes:

  • Zero logarítmico. Uma propriedade elementar que deve ser lembrada. Qualquer que seja a base do logaritmo, se o argumento for 1, o logaritmo será sempre 0.
  • Unidade logarítmica. Outra propriedade simples: se o argumento e a base do logaritmo forem iguais, o valor do logaritmo será igual a um.
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  • Identidade logarítmica básica. Excelente propriedade que transforma uma expressão de quatro andares em um b. A essência desta fórmula: a base a, elevada à potência do logaritmo com a base a, será igual a b.
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  • Soma dos logaritmos. Ao multiplicar os números dos logaritmos, você pode fazer deles a soma de 2 logaritmos, que terão a mesma base. E assim os logaritmos incalculáveis ​​tornam-se simples.
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  • Logaritmo do quociente. Aqui, a situação é semelhante à soma dos logaritmos. Ao dividir os números, obtemos a diferença de dois logaritmos com a mesma base.
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  • Removendo o expoente do logaritmo. Até 3 regras se aplicam aqui. É simples: se o grau está na base ou argumento do logaritmo, ele pode ser movido para fora do logaritmo, de acordo com estas fórmulas:
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  • Fórmulas para a transição para uma nova base. Eles são necessários para expressões com logaritmos, que têm bases diferentes. Essas fórmulas são usadas principalmente para resolver equações e desigualdades logarítmicas.
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A segunda propriedade se aplica quando o argumento e a base do logaritmo são trocados e o logaritmo é transferido para o denominador.

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Abordamos as propriedades básicas dos logaritmos. Agora, nem uma única desigualdade ou equação permanecerá sem solução;)

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