Logaritmi

Logaritmi

Am început articolul nostru anterior despre ecuațiile exponențiale cu ecuația 2 x= 8. Totul era clar acolo: x = 3.

Acum ia în considerare ecuația 2 x= 7.

Conform graficului funcției y = 2 xvedem că această ecuație are o rădăcină și, mai mult, singura.

Este clar că această rădăcină nu este un număr întreg (din 2 2= 4, 2 3= 8). Mai mult, se dovedește că nu este nici măcar un număr rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită. Intuitiv, simțim doar că este mai puțin de 3, dar nu mult.

Această rădăcină este denumită jurnal 27 (se citește: „baza doi a logaritmului.” Este un număr irațional, adică o fracție zecimală neperiodică infinită. Calculatorul dă: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Deci numărul nostru este jurnal 27 este exponentul la care trebuie crescut 2 pentru a obține 7.

Acum oferim o definiție generală a logaritmului. Fie a> 0 și a ≠ 1 (condițiile sunt aceleași ca și pentru baza funcției exponențiale).

Definiție. Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (notat cu log ab) este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b.

Cu alte cuvinte,

De exemplu:

deoarece

, deoarece

deoarece ;

, deoarece .

Se numește baza 10 de logaritm zecimal și este notat cu lg. De exemplu, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritmul cu baza e se numește natural și este notat cu ln.

Vă rugăm să rețineți: logaritmul este definit doar pentru numerele pozitive. Motivul este că funcția exponențială poate lua doar valori pozitive. De exemplu, jurnalul numeric 2(−4) nu există: indiferent de gradul pe care îl creștem 2, nu vom obține niciodată −4.

Nu uitați de restricțiile de la baza logaritmului: 0 <a <1 sau a> 1.

Formule de bază

Prin definiție, jurnal ab este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b:

Formula (1) se numește identitatea logaritmică de bază Iată un alt mod de a scrie identitatea logaritmică de bază:

Buturuga aax= x.

Să enumerăm proprietățile logaritmilor. Sunt simple consecințe ale regulilor puterii. Toate logaritmele de mai jos sunt considerate definite.

Logaritmul produsului este suma logaritmilor:

Buturuga a(bc) = jurnal ab + log ac. (2)

Logaritmul coeficientului este diferența dintre logaritmi:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Exponentul logaritmului „sare” în fața logaritmului:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(patru)

Exponentul bazei logaritmului „sare” și el, dar sub forma unui număr invers:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(cinci)

Formulele (4) și (5) împreună dau:

(6)

În special, dacă m = n, obținem formula:

(7)

De exemplu, .

În cele din urmă, cea mai importantă formulă pentru tranziția către o nouă fundație:

(8)

În special, dacă c = b, atunci jurnal bb = 1 și apoi:

(9)

Iată câteva exemple din bursa de locuri de muncă. unu. (formula aplicată (2) suma logaritmilor).

2. (a aplicat identitatea logaritmică de bază (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(formula aplicată (4).

patru. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(formula aplicată (9), trecând la o nouă bază 0,8).

cinci. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(formula aplicată (3) diferență de logaritmi)

Un pic de istorie

Acum înțelegeți ce sunt logaritmii și cum să le utilizați. Dar pentru ce sunt? Sau este doar o jucărie matematică cu instrucțiuni inteligente de utilizare?

Conceptul de logaritm și tabele logaritmice a apărut în secolul al XVII-lea, iar importanța lor a fost enormă.

În zilele noastre, calculele nu sunt dificile - toată lumea are un calculator. Și ce se considera în timpurile „pre-computerizate”?

A fost posibil să se adauge și să se scadă pe abac, dar să se înmulțească și să se împartă „într-o coloană” a fost lent și dificil.

În secolele 15-17, în era marilor descoperiri geografice, comerțul, economia și știința au început să se dezvolte rapid. Cerințele pentru matematică au crescut: calculele au devenit mai complexe, iar precizia - de exemplu, pentru rezolvarea problemelor de navigație - era necesară din ce în ce mai mult.

Era necesar un instrument pentru a simplifica și a accelera calculele, iar logaritmii erau un astfel de instrument.

Să presupunem că b și c sunt numere mari care trebuie multiplicate. Apariția tabelelor de logaritmi (de exemplu, cu baza 10) a simplificat foarte mult această sarcină. Acum era suficient ca calculatorul să găsească logaritmele zecimale ale numerelor b și c din tabele, să le adauge (pe abac) și să obțină logaritmul produsului: lgb + lgc = lg (bc).

Și apoi, folosind tabelul logaritmilor, găsiți chiar produsul numerelor b și c.

Nu este de mirare că matematicianul și astronomul francez Laplace a spus că invenția logaritmilor a prelungit viața calculatoarelor. Regula de diapozitive (pe care inginerii au folosit-o până în anii 70 ai secolului al XX-lea) nu a fost o invenție mai puțin progresivă decât calculatorul modern.

Dar asta nu este tot! Nu ne-am ocupa de logaritmi dacă ar avea doar valoare istorică, „muzeală”. Vom vorbi despre aplicațiile neașteptate ale logaritmilor în articolul următor despre funcția logaritmică.

Orice problemă logaritmică semnificativă nu poate fi rezolvată fără a cunoaște regulile speciale ale logaritmilor. Sau mai bine zis, principalele proprietăți. Din fericire, nu există multe dintre aceste proprietăți și nu va fi dificil să le înveți. Dar trebuie să le cunoașteți de la stânga la dreapta și în direcția opusă.

sursa: Yandex
sursa: Yandex

Să luăm în considerare proprietățile individuale în detaliu:

  • Zero logaritmic. O proprietate elementară care trebuie amintită. Oricare ar fi baza logaritmului, dacă argumentul este 1, atunci logaritmul este întotdeauna 0.
  • Unitate logaritmică. O altă proprietate simplă: dacă argumentul și baza logaritmului sunt aceleași, atunci valoarea logaritmului va fi egală cu una.
sursa: Yandex
sursa: Yandex
  • Identitate logaritmică de bază. Proprietate excelentă care transformă o expresie cu patru etaje într-o b de bază. Esența acestei formule: baza a, ridicată la puterea logaritmului cu baza a, va fi egală cu b.
sursa: Yandex
sursa: Yandex
  • Suma de logaritmi. Când înmulțiți numerele logaritmice, puteți face din ele suma a 2 logaritmi, care vor avea aceeași bază. Și astfel logaritmii incalculabili devin simpli.
sursa: Yandex
sursa: Yandex
  • Logaritmul coeficientului. Aici situația este similară cu suma logaritmilor. La împărțirea numerelor, obținem diferența dintre două logaritmi cu aceeași bază.
sursa: Yandex
sursa: Yandex
Publicitate
Publicitate
Nu orice student își permite să petreacă un semestru la o universitate 100 000 ₽ ... Dar este mișto că există subvenții a studia. Grant-na-vuz.rf aceasta este posibilitatea de a studia în specialitatea dorită. Legătură toată lumea va primi un bonus de la 300 ₽ inainte de 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Eliminarea exponentului din logaritm. Aici se aplică până la 3 reguli. Este simplu: dacă gradul se află la baza sau argumentul logaritmului, atunci acesta poate fi mutat în afara logaritmului, în conformitate cu aceste formule:
sursa: Yandex
sursa: Yandex
sursa: Yandex
sursa: Yandex
  • Formule pentru trecerea la o nouă bază. Sunt necesare pentru expresii cu logaritmi, care au baze diferite. Astfel de formule sunt utilizate în principal pentru a rezolva inegalitățile și ecuațiile logaritmice.
sursa: Yandex
sursa: Yandex

A doua proprietate se aplică atunci când argumentul și baza logaritmului sunt schimbate, iar logaritmul este transferat la numitor.

Publicitate
Publicitate
Vă reamintim despre serviciu grant-at-university.rf ... Nu ratați șansa de a afla ce vă place. Ei bine, sau doar economisiți bani la școală. Cu siguranță veți obține din 300 ₽ inainte de 100 000 ₽, făcând clic pe link grant-at-university.rf !

Am analizat proprietățile de bază ale logaritmilor. Acum nicio inegalitate sau ecuație nu va rămâne nerezolvată;)

Vă mulțumim că ați citit articolul. Nu uitați să vă abonați la canal și vă recomand, de asemenea, să citiți canalul prietenilor noștri:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - cele mai recente realizări științifice și cele mai bune practici educaționale.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EDUCAȚIE SUPERIORĂ EUROPEANĂ. O companie internațională care oferă servicii de consultanță, însoțire și informare în domeniul învățământului superior din Europa. Site-ul oficial - https://eurounis.com .
Sa aveti o zi frumoasa si sa nu va imbolnaviti.

Добавить комментарий