Логарифмы

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.

По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107...

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  

, так как 

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

logaax=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

log_{a}b^{m}=mlog_{a}b(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. log^{2}_{\sqrt{7}}49=(log_{\sqrt{7}}49)^{2}=(log_{\sqrt{7}}7^{2})^{2}=(2log_{\sqrt{7}}7)^{2}=(2\cdot 2)^{2}=16 (применили формулу (4).

4. log_{0,8}3\cdot log_{3}1,25=log_{0,8}3\cdot \frac{log_{0,8}1,25}{log_{0,8}3}=log_{0,8}1,25=log_{\frac{4}{5}}\frac{5}{4}=-1 (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. \frac{9^{log_{5}50}}{9^{log_{5}2}}=9^{log_{5}50-log_{5}2}=9^{log_{5}25}=9^{2}=81 (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Любую значимую логарифмическую задачу невозможно решить, не зная особых правил логарифмов. А точнее – основных свойств. К счастью, этих свойств совсем не много и выучить их не составит труда. Но знать их нужно как слева направо, так и в обратную сторону.

источник: Яндекс
источник: Яндекс

Рассмотрим отдельные свойства более детально:

  • Логарифмический ноль. Элементарное свойство, которое нужно обязательно помнить. Какое бы ни было основание логарифма, если в аргументе стоит 1, то логарифм всегда равен 0.
  • Логарифмическая единица. Еще одно простое свойство: если аргумент и основание логарифма одинаковы, то значение логарифма будет равно единице.
источник: Яндекс
источник: Яндекс
  • Основное логарифмическое тождество. Отличное свойство, превращающее четырехэтажное выражение в простейшую b. Суть этой формулы: основание a, возведенное в степень логарифма с основанием а, будет равно b.
источник: Яндекс
источник: Яндекс
  • Сумма логарифмов. При умножении логарифмируемых чисел, можно сделать из них сумму 2х логарифмов, у которых будут одинаковые основания. И так невычислимые логарифмы становятся простыми.
источник: Яндекс
источник: Яндекс
  • Логарифм частного. Здесь ситуация схожая с суммой логарифмов. При делении чисел мы получаем разность двух логарифмов с одинаковым основанием.
источник: Яндекс
источник: Яндекс
Реклама
Реклама
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать100 000 ₽. Но круто, что естьгрантына учебу.Грант-на-вуз.рфэтовозможность учиться на желанной специальности.По ссылкекаждый получит бонус от300 ₽до100 000 ₽грант-на-вуз.рф
  • Вынесение показателя степени из логарифма. Тут действуют целых 3 правила. Все просто: если степень находится в основании или аргументе логарифма, то ее можно вынести за пределы логарифма, в соответствии с этими формулами:
источник: Яндекс
источник: Яндекс
источник: Яндекс
источник: Яндекс
  • Формулы перехода к новому основанию. Они нужны для выражений с логарифмами, у которых разные основания. Такие формулы в основном используются при решении логарифмических неравенств и уравнений.
источник: Яндекс
источник: Яндекс

Второе свойство применяется, когда меняется местами аргумент и основание логарифма, при этом логарифм переносится в знаменатель.

Реклама
Реклама
Напоминаем про сервисгрант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишьот300 ₽до100 000 ₽,перейдя по ссылкегрант-на-вуз.рф!

Мы разобрали основные свойства логарифмов. Теперь ни одно неравенство или уравнение не останется нерешенным ;)

Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac— последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705— ЕВРОПЕЙСКОЕ ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Международная компания, оказывающая консультационные, сопроводительные и информационные услуги в сфере высшего образования в Европе. Официальный сайт -https://eurounis.com.
Хорошего дня и не болейте.

Добавить комментарий