Logaritmer

Logaritmer

Vi började vår tidigare artikel om exponentiella ekvationer med ekvation 2 x= 8. Allt var klart där: x = 3.

Tänk nu på ekvation 2 x= 7.

Enligt diagrammet för funktionen y = 2 xvi ser att denna ekvation har en rot, och dessutom den enda.

Det är uppenbart att denna rot inte är ett heltal (sedan 2 2= 4, 2 3= 8). Dessutom visar det sig att det inte ens är ett rationellt tal, det vill säga det kan inte representeras som en vanlig bråkdel. Intuitivt känner vi bara att det är mindre än 3, men inte mycket.

Denna rot är betecknad logg 27 (lyder: "logaritm av sju till bas två." Det är ett irrationellt tal, det vill säga en oändlig icke-periodisk decimalfraktion. Kalkylatorn ger: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Så vårt nummer är logg 27 är exponenten till vilken 2 måste höjas för att få 7.

Vi ger nu en allmän definition av logaritmen. Låt a> 0 och a ≠ 1 (villkoren är desamma som för den exponentiella funktionens bas).

Definition. Logaritm med ett positivt tal b för att basera a (betecknas med log ab) är exponenten till vilken a måste höjas för att få b.

Med andra ord,

Till exempel:

eftersom

, eftersom

eftersom ;

, eftersom .

Logaritmbas 10 kallas decimal- och betecknas med lg. Till exempel lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Logaritmen med bas e kallas naturlig och betecknas med ln.

Observera: logaritmen är endast definierad för positiva tal. Anledningen är att den exponentiella funktionen bara kan ta positiva värden. Till exempel nummerloggen 2(−4) existerar inte: oavsett hur mycket vi höjer 2, vi får aldrig −4.

Glöm inte också begränsningarna på logaritmens botten: 0 <a <1 eller a> 1.

Grundformler

Per definition logga ab är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få talet b:

Formel (1) kallas grundläggande logaritmisk identitet Här är ett annat sätt att skriva den grundläggande logaritmiska identiteten:

logga aax= x.

Låt oss lista egenskaperna hos logaritmer. De är enkla konsekvenser av maktreglerna. Alla logaritmer nedan betraktas som bestämda.

Produktens logaritm är summan av logaritmerna:

logga a(bc) = logg ab + logg ac. (2)

Logaritmen för kvoten är skillnaden mellan logaritmerna:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Logonitmens exponent "hoppar" framför logaritmen:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(fyra)

Exponenten av logaritmens bas "hoppar" också, men i form av ett omvänd tal:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(fem)

Formlerna (4) och (5) ger tillsammans:

(6)

I synnerhet, om m = n, får vi formeln:

(7)

Till exempel, .

Slutligen den viktigaste formeln för övergången till en ny stiftelse:

(8)

I synnerhet, om c = b, logga sedan bb = 1 och sedan:

(9)

Här är några exempel från arbetsbanken. ett. (tillämpad formel (2) summan av logaritmer).

2. (tillämpade den grundläggande logaritmiska identiteten (1))

3. logga ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(vi använde formel (4).

fyra. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(tillämpad formel (9), övergår till en ny bas 0,8).

fem. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(tillämpad formel (3) skillnaden mellan logaritmer)

Lite historia

Nu förstår du vad logaritmer är och hur du använder dem. Men vad är det för? Eller är det bara en matteleksak med smarta bruksanvisningar?

Begreppet logaritmiska och logaritmiska tabeller dök upp på 1600-talet och deras betydelse var enorm.

Dessa dagar är beräkningar inte svåra - alla har en miniräknare. Och vad ansågs i "pre-dator" tider?

Det var möjligt att lägga till och subtrahera kulramen, men att multiplicera och dela "i en kolumn" var långsam och svår.

Under 15-17-talet, under stora geografiska upptäckter, började handel, ekonomi och vetenskap utvecklas snabbt. Kraven för matematik växte: beräkningarna blev mer komplexa och noggrannheten, till exempel för att lösa navigationsproblem, behövdes mer och mer.

Ett verktyg behövdes för att förenkla och påskynda beräkningarna, och logaritmer var ett sådant verktyg.

Anta att b och c är stora tal som måste multipliceras. Tillkomsten av tabeller med logaritmer (till exempel med bas 10) har förenklat denna uppgift kraftigt. Nu räckte det för räknaren att hitta decimallogaritmerna för siffrorna b och c från tabellerna, lägga till dem (på kontona) och få logaritmen för produkten: lgb + lgc = lg (bc).

Och sedan, med hjälp av logaritmtabellen, hitta själva produkten av siffrorna b och c.

Inte konstigt att den franska matematikern och astronomen Laplace sa att uppfinningen av logaritmer förlängde räknarnas livslängd. Bildregeln (som ingenjörer använde fram till 70-talet på 1900-talet) var inte mindre progressiv uppfinning än den moderna räknaren.

Men det är inte allt! Vi skulle inte hantera logaritmer om de bara hade historiskt, "museum" -värde. Vi kommer att prata om oväntade applikationer av logaritmer i nästa artikel om den logaritmiska funktionen.

Något betydande logaritmiskt problem kan inte lösas utan att känna till de särskilda reglerna för logaritmer. Eller snarare de viktigaste egenskaperna. Lyckligtvis finns det inte många av dessa egenskaper och det blir inte svårt att lära sig dem. Men du måste känna dem båda från vänster till höger och i motsatt riktning.

källa: Yandex
källa: Yandex

Låt oss överväga enskilda egenskaper mer detaljerat:

  • Logaritmisk noll. En elementär egenskap som måste komma ihåg. Oavsett logaritmens bas, om argumentet är 1, så är logaritmen alltid 0.
  • Logaritmisk enhet. En annan enkel egenskap: om argumentet och basen för logaritmen är desamma, blir logaritmens värde lika med en.
källa: Yandex
källa: Yandex
  • Grundläggande logaritmisk identitet. Utmärkt egenskap som förvandlar ett fyra våningar uttryck till en mycket grundläggande b. Kärnan i denna formel: basen a, höjd till logaritmens kraft med basen a, kommer att vara lika med b.
källa: Yandex
källa: Yandex
  • Summan av logaritmer. När du multiplicerar logaritmnummer kan du göra summan av dem 2 logaritmer, som kommer att ha samma bas. Och så blir de oberäknbara logaritmerna enkla.
källa: Yandex
källa: Yandex
  • Logaritmen för kvoten. Här liknar situationen summan av logaritmer. När vi delar tal får vi skillnaden mellan två logaritmer med samma bas.
källa: Yandex
källa: Yandex
Reklam
Reklam
Inte alla studenter har råd att tillbringa en termin vid ett universitet 100 000 ₽ ... Men det är coolt att det finns bidrag att studera. Grant-na-vuz.rf detta är möjlighet att studera i önskad specialitet. Länk alla kommer att få en bonus från 300 ₽ innan 100 000 ₽ grant-at-university.rf
  • Ta bort exponenten från logaritmen. Så många som 3 regler gäller här. Det är enkelt: om graden ligger vid logaritmens bas eller argument kan den flyttas utanför logaritmen, i enlighet med dessa formler:
källa: Yandex
källa: Yandex
källa: Yandex
källa: Yandex
  • Formler för övergången till en ny bas. De behövs för uttryck med logaritmer, som har olika baser. Sådana formler används främst för att lösa logaritmiska ojämlikheter och ekvationer.
källa: Yandex
källa: Yandex

Den andra egenskapen gäller när argumentet och basen för logaritmen byts ut och logaritmen överförs till nämnaren.

Reklam
Reklam
Vi påminner dig om tjänsten grant-at-university.rf ... Missa inte din chans att lära dig vad du gillar. Tja, eller bara spara pengar på skolan. Du kommer definitivt att få från 300 ₽ innan 100 000 ₽, genom att klicka på länken grant-at-university.rf !

Vi har analyserat de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Nu förblir inte en enda ojämlikhet eller ekvation olöst;)

Tack för att du läste artikeln. Glöm inte att prenumerera på kanalen, och jag rekommenderar också att du läser våra vänners kanal:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - de senaste vetenskapliga prestationerna och de bästa pedagogiska metoderna.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPEISK HÖGARE UTBILDNING. Ett internationellt företag som tillhandahåller konsult-, kompletterings- och informationstjänster inom högre utbildning i Europa. Officiell webbplats - https://eurounis.com .
Ha en trevlig dag och bli inte sjuk.

Добавить комментарий