ลอการิทึม

ลอการิทึม

เราเริ่มบทความก่อนหน้านี้เกี่ยวกับสมการเอกซ์โพเนนเชียลด้วยสมการ 2 x= 8. ทุกอย่างชัดเจนที่นั่น: x = 3

ตอนนี้พิจารณาสมการ 2 x= 7.

ตามกราฟของฟังก์ชัน y = 2 xเราจะเห็นว่าสมการนี้มีรากและยิ่งไปกว่านั้นสมการเดียว

เป็นที่ชัดเจนว่ารูทนี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม (ตั้งแต่ 2 2= 4, 2 3= 8) ยิ่งไปกว่านั้นปรากฎว่ามันไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นคือมันไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ โดยสัญชาตญาณเรารู้สึกว่ามันน้อยกว่า 3 เท่านั้น แต่ไม่มาก

รูทนี้แสดงถึงบันทึก 27 (อ่านว่า“ ลอการิทึมของเจ็ดถึงฐานสอง” มันเป็นจำนวนอตรรกยะนั่นคือเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีขีด จำกัด ที่ไม่มีระยะเวลาเครื่องคิดเลขให้: log 27 = 2.807354922057604107 ...

ดังนั้นหมายเลขของเราคือบันทึก 27 คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก 2 เพื่อให้ได้ 7

ตอนนี้เราให้คำจำกัดความทั่วไปของลอการิทึม ให้ a> 0 และ a ≠ 1 (เงื่อนไขเหมือนกับฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง)

คำจำกัดความ. ลอการิทึมของจำนวนบวก b ถึงฐาน a (แสดงโดย log ab) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อให้ได้ b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น:

เพราะ

, เพราะ

เพราะ ;

, เพราะ .

เรียกลอการิทึมฐาน 10 ทศนิยม และแสดงด้วย lg ตัวอย่างเช่น lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = −2

ลอการิทึมที่มีฐาน e เรียกว่า ธรรมชาติ และแสดงโดย ln

โปรดทราบ: ลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น เหตุผลก็คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถรับค่าบวกเท่านั้น ตัวอย่างเช่นบันทึกตัวเลข 2(−4) ไม่มีอยู่: ไม่ว่าเราจะเพิ่ม 2 เท่าไหร่เราก็จะไม่ได้รับ −4

อย่าลืมเกี่ยวกับข้อ จำกัด บนฐานของลอการิทึมด้วย: 0 <a <1 หรือ a> 1.

สูตรพื้นฐาน

ตามความหมายบันทึก ab คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้หมายเลข b:

เรียกว่า Formula (1) เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการเขียนเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

บันทึก aax= x.

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติของลอการิทึม มันเป็นผลพวงง่ายๆของกฎแห่งอำนาจ ลอการิทึมด้านล่างทั้งหมดถือเป็นที่แน่นอน

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์คือผลรวมของลอการิทึม:

บันทึก a(bc) = บันทึก ab + บันทึก aค. (2)

ลอการิทึมของผลหารคือความแตกต่างระหว่างลอการิทึม:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} ค(3)

เลขชี้กำลังของลอการิทึม "กระโดด" หน้าลอการิทึม:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(สี่)

เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึมยัง "กระโดด" แต่อยู่ในรูปของจำนวนผกผัน:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(ห้า)

สูตร (4) และ (5) รวมกันให้:

(6)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า m = n เราจะได้สูตร:

(7)

ตัวอย่างเช่น .

สุดท้ายสูตรที่สำคัญที่สุดสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่:

(8)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า c = b ให้เข้าสู่ระบบ bb = 1 แล้ว:

(9)

นี่คือตัวอย่างบางส่วนจากธนาคารงาน หนึ่ง. (สูตรที่ใช้ (2) ผลรวมของลอการิทึม)

2. (ใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน (1))

3. บันทึก ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (บันทึก _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (บันทึก _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2 ล็อก _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(เราใช้สูตร (4)

สี่. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(สูตรที่ใช้ (9) ส่งผ่านไปยังฐานใหม่ 0.8)

ห้า. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(สูตรประยุกต์ (3) ความแตกต่างของลอการิทึม)

ประวัติเล็กน้อย

ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าลอการิทึมคืออะไรและใช้อย่างไร แต่มีไว้เพื่ออะไร? หรือเป็นเพียงของเล่นคณิตศาสตร์ที่มีคำแนะนำการใช้งานที่ชาญฉลาด?

แนวคิดของตารางลอการิทึมและลอการิทึมปรากฏในศตวรรษที่ 17 และมีความสำคัญอย่างมาก

ทุกวันนี้การคำนวณไม่ใช่เรื่องยากทุกคนมีเครื่องคิดเลข และมีการพิจารณาอะไรบ้างในสมัย ​​"ก่อนคอมพิวเตอร์"?

เป็นไปได้ที่จะบวกและลบบนลูกคิด แต่การคูณและหาร "ในคอลัมน์" นั้นทำได้ช้าและยาก

ในศตวรรษที่ 15-17 ในยุคแห่งการค้นพบทางภูมิศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่การค้าเศรษฐศาสตร์และวิทยาศาสตร์เริ่มพัฒนาอย่างรวดเร็ว ข้อกำหนดสำหรับคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น: การคำนวณมีความซับซ้อนมากขึ้นและความแม่นยำ - ตัวอย่างเช่นสำหรับการแก้ปัญหาการนำทาง - จำเป็นมากขึ้นเรื่อย ๆ

จำเป็นต้องมีเครื่องมือเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเร็วขึ้นและลอการิทึมก็เป็นเครื่องมือเช่นนี้

สมมติว่า b และ c เป็นจำนวนมากที่ต้องคูณ การถือกำเนิดของตารางลอการิทึม (เช่นฐาน 10) ทำให้งานนี้ง่ายขึ้นมาก ตอนนี้เครื่องคิดเลขก็เพียงพอแล้วที่จะหาลอการิทึมฐานสิบของตัวเลข b และ c จากตารางเพิ่ม (บนลูกคิด) และรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: lgb + lgc = lg (bc)

จากนั้นใช้ตารางลอการิทึมหาผลคูณของตัวเลข b และ c

ไม่น่าแปลกใจที่นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Laplace กล่าวว่าการประดิษฐ์ลอการิทึมช่วยยืดอายุการใช้งานของเครื่องคิดเลข กฎสไลด์ (ซึ่งวิศวกรใช้จนถึงทศวรรษที่ 70 ของศตวรรษที่ 20) ไม่ใช่สิ่งประดิษฐ์ที่ก้าวหน้าไปกว่าเครื่องคิดเลขสมัยใหม่

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! เราจะไม่จัดการกับลอการิทึมหากมีเพียงคุณค่าทางประวัติศาสตร์ "พิพิธภัณฑ์" เราจะพูดถึงการใช้ลอการิทึมที่ไม่คาดคิดในบทความถัดไปเกี่ยวกับฟังก์ชันลอการิทึม

ปัญหาลอการิทึมที่สำคัญใด ๆ ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่ทราบกฎพิเศษของลอการิทึม หรือมากกว่าคุณสมบัติหลัก โชคดีที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ไม่มากนักและจะไม่ยากที่จะเรียนรู้ แต่คุณต้องรู้จักพวกเขาทั้งจากซ้ายไปขวาและในทิศทางตรงกันข้าม

ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์

ลองพิจารณาคุณสมบัติแต่ละอย่างโดยละเอียด:

  • ลอการิทึมศูนย์ คุณสมบัติเบื้องต้นที่ต้องจดจำ ไม่ว่าฐานของลอการิทึมจะเป็นอย่างไรถ้าอาร์กิวเมนต์เป็น 1 ลอการิทึมจะเป็น 0 เสมอ
  • หน่วยลอการิทึม คุณสมบัติง่ายๆอีกอย่าง: ถ้าอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึมเหมือนกันค่าของลอการิทึมจะเท่ากับหนึ่ง
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
  • เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน คุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมที่เปลี่ยนการแสดงออกสี่ชั้นให้กลายเป็นพื้นฐาน b. สาระสำคัญของสูตรนี้ฐาน a ยกกำลังของลอการิทึมด้วยฐาน a จะเท่ากับ b
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
  • ผลรวมของลอการิทึม เมื่อคูณจำนวนลอการิทึมคุณสามารถทำให้ผลรวมของลอการิทึม 2 ตัวซึ่งจะมีฐานเดียวกัน ดังนั้นลอการิทึมที่ไม่สามารถคำนวณได้จึงกลายเป็นเรื่องง่าย
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
  • ลอการิทึมของผลหาร ที่นี่สถานการณ์จะคล้ายกับผลรวมของลอการิทึม เมื่อหารตัวเลขเราจะได้ผลต่างของลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
การโฆษณา
การโฆษณา
นักเรียนบางคนไม่สามารถจ่ายค่าเทอมในมหาวิทยาลัยได้ 100000 ₽ ... แต่มันเจ๋งตรงที่มี ทุน ศึกษา. Grant-na-vuz.rf นี่คือ โอกาสในการศึกษาในสาขาวิชาที่ต้องการ ลิงค์ ทุกคนจะได้รับโบนัสจาก 300 ₽ ก่อน 100000 ₽ ทุนที่มหาวิทยาลัย. rf
  • การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม ที่นี่มีกฎมากถึง 3 ข้อ มันง่ายมาก: ถ้าองศาอยู่ที่ฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมก็สามารถย้ายออกนอกลอการิทึมได้ตามสูตรเหล่านี้:
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์
  • สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ จำเป็นสำหรับนิพจน์ที่มีลอการิทึมซึ่งมีฐานต่างกัน สูตรดังกล่าวส่วนใหญ่ใช้เพื่อแก้อสมการลอการิทึมและสมการ
ที่มา: ยานเดกซ์
ที่มา: ยานเดกซ์

คุณสมบัติที่สองใช้เมื่ออาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึมถูกสลับและลอการิทึมถูกโอนไปยังตัวส่วน

การโฆษณา
การโฆษณา
เราเตือนคุณเกี่ยวกับบริการ ทุนที่มหาวิทยาลัย. rf ... อย่าพลาดโอกาสที่จะเรียนรู้สิ่งที่คุณชอบ ดีหรือเพียงแค่ประหยัดเงินในโรงเรียน แน่นอนคุณจะได้รับ จาก 300 ₽ ก่อน 100000 ₽, โดยคลิกที่ลิงค์ ทุนที่มหาวิทยาลัย. rf !

เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ตอนนี้อสมการเดียวหรือสมการจะยังคงไม่ถูกแก้ไข;)

ขอบคุณที่อ่านบทความ อย่าลืมติดตามช่องและฉันขอแนะนำให้อ่านช่องของเพื่อนของเรา:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - ความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ล่าสุดและแนวทางปฏิบัติด้านการศึกษาที่ดีที่สุด
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - การศึกษาระดับสูงในยุโรป บริษัท ระหว่างประเทศที่ให้คำปรึกษาการติดตามและบริการข้อมูลในด้านการศึกษาระดับอุดมศึกษาในยุโรป เว็บไซต์อย่างเป็นทางการ - https://eurounis.com .
ขอให้มีความสุขในวันนี้และอย่าป่วย

Добавить комментарий