Logarithms

Logarithms

Sinimulan namin ang aming nakaraang artikulo sa mga equation na exponential na may equation 2 x= 8. Malinaw ang lahat doon: x = 3.

Isaalang-alang ngayon ang equation 2 x= 7.

Ayon sa grap ng pagpapaandar y = 2 xnakikita natin na ang equation na ito ay may ugat, at, saka, isa lamang.

Malinaw na ang ugat na ito ay hindi isang integer (mula noong 2 2= 4, 2 3= 8). Bukod dito, lumalabas na ito ay hindi kahit isang makatuwiran na numero, iyon ay, hindi ito maaaring kinatawan bilang isang ordinaryong maliit na bahagi. Sa intuitive, nararamdaman lamang natin na ito ay mas mababa sa 3, ngunit hindi gaanong.

Ang ugat na ito ay tinukoy na log 27 (mababasa: "logarithm ng pito hanggang sa dalawang base." Ito ay isang hindi makatuwiran na numero, iyon ay, isang walang katapusang di-pana-panahong decimal na praksyon. Nagbibigay ang calculator ng: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Kaya, ang aming numero ay mag-log 2Ang 7 ay ang exponent kung saan 2 dapat itaas upang makakuha ng 7.

Nagbibigay kami ngayon ng isang pangkalahatang kahulugan ng logarithm. Hayaan ang isang> 0 at isang ≠ 1 (ang mga kundisyon ay kapareho para sa base ng exponential function).

Kahulugan Logarithm ng isang positibong numero b upang ibase ang isang (denoted sa pamamagitan ng log ab) ay ang tagapagpahiwatig kung saan dapat itataas ang isang upang makakuha ng b.

Sa ibang salita,

Halimbawa:

kasi

, kasi

kasi ;

, kasi .

Ang Logarithm base 10 ay tinawag decimal at hinuhulugan ng lg. Halimbawa, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = −2.

Ang logarithm na may base e ay tinawag natural at itinuturo ni ln.

Mangyaring tandaan: ang logarithm ay tinukoy lamang para sa mga positibong numero. Ang dahilan ay ang exponential function ay maaari lamang kumuha ng positibong halaga. Halimbawa, ang numero ng pag-log 2Ang (−4) ay hindi umiiral: gaano man tayo magtataas ng 2, hindi tayo makakakuha ng −4.

Huwag kalimutan din ang tungkol sa mga paghihigpit sa base ng logarithm: 0 <a <1 o a> 1.

Pangunahing mga formula

Sa pamamagitan ng kahulugan, mag-log ab ay ang tagapagtaguyod kung saan dapat itataas ang bilang a upang makuha ang numero b:

Ang Formula (1) ay tinawag pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic Narito ang isa pang paraan upang isulat ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic:

mag-log aax= x.

Listahan namin ang mga pag-aari ng logarithms. Ang mga ito ay simpleng bunga ng mga panuntunan sa kapangyarihan. Ang lahat ng mga logarithm sa ibaba ay itinuturing na tiyak.

Ang logarithm ng produkto ay ang kabuuan ng mga logaritma:

mag-log a(bc) = mag-log ab + log ac. (2)

Ang logarithm ng kabuuan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga logaritma:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Ang exponent ng logarithm na "jumps" sa harap ng logarithm:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(apat)

Ang exponent ng base ng logarithm ay "jumps" din, ngunit sa anyo ng isang kabaligtaran na numero:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(lima)

Mga pormula (4) at (5) magkasama na ibibigay:

(6)

Sa partikular, kung m = n, nakukuha namin ang formula:

(7)

Halimbawa, .

Panghuli, ang pinakamahalagang pormula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon:

(8)

Sa partikular, kung c = b, pagkatapos ay mag-log bb = 1, at pagkatapos ay:

(9)

Narito ang ilang mga halimbawa mula sa job bank. isa (inilapat na pormula (2) ang kabuuan ng mga logarithms).

2. (inilapat ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(naglapat kami ng pormula (4).

apat log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(inilapat na pormula (9), na dumadaan sa isang bagong base 0.8).

lima \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(inilapat na pormula (3) ang pagkakaiba ng logarithms)

Kaunting kasaysayan

Ngayon naiintindihan mo kung ano ang mga logarithm at kung paano gamitin ang mga ito. Ngunit para saan sila O isa lamang itong laruan sa matematika na may matalinong tagubilin para magamit?

Ang konsepto ng isang logarithm at logarithmic table ay lumitaw noong ika-17 siglo, at napakalaki ng kanilang kahalagahan.

Sa mga araw na ito, ang mga kalkulasyon ay hindi mahirap - lahat ay may calculator. At ano ang isinasaalang-alang sa mga oras na "pre-computer"?

Posibleng magdagdag at magbawas sa abacus, ngunit upang dumami at hatiin ang "sa isang haligi" ay mabagal at mahirap.

Noong ika-15-17 siglo, sa panahon ng mahusay na mga pagtuklas sa heyograpiya, ang kalakal, ekonomiya at agham ay nagsimulang umunlad nang mabilis. Lumago ang mga kinakailangan para sa matematika: ang mga kalkulasyon ay naging mas kumplikado, at ang katumpakan - halimbawa, para sa paglutas ng mga problema sa nabigasyon - ay higit na kinakailangan.

Ang isang tool ay kinakailangan upang gawing simple at mapabilis ang mga kalkulasyon, at ang logarithms ay tulad ng isang tool.

Ipagpalagay na ang b at c ay malalaking bilang na kailangang paramihin. Ang pagdating ng mga talahanayan ng logarithms (halimbawa, na may base 10) ay lubos na pinadali ang gawaing ito. Ngayon ay sapat na para sa calculator upang mahanap ang decimal logarithms ng mga numero b at c mula sa mga talahanayan, idagdag ang mga ito (sa abacus) at kunin ang logarithm ng produkto: lgb + lgc = lg (bc).

At pagkatapos, gamit ang talahanayan ng logarithms, hanapin ang mismong produkto ng mga bilang na b at c.

Hindi nakakagulat na sinabi ng Pranses na dalub-agbilang at astronomong si Laplace na ang pag-imbento ng mga logarithm ay pinahaba ang buhay ng mga calculator. Ang panuntunang slide (kung aling mga inhinyero ang ginamit hanggang dekada 70 ng ikadalawampu siglo) ay hindi gaanong umuunlad na imbensyon kaysa sa modernong calculator.

Ngunit hindi lang iyon! Hindi namin haharapin ang mga logarithm kung mayroon lamang silang makasaysayang, "museo" na halaga. Pag-uusapan natin ang tungkol sa hindi inaasahang mga aplikasyon ng logarithms sa susunod na artikulo sa pag-andar ng logarithmic.

Ang anumang makabuluhang problema sa logarithmic ay hindi malulutas nang hindi alam ang mga espesyal na patakaran ng logarithms. O sa halip, ang pangunahing mga pag-aari. Sa kasamaang palad, walang marami sa mga pag-aari at hindi magiging mahirap na matutunan ang mga ito. Ngunit kailangan mong malaman ang dalawa mula kaliwa hanggang kanan at sa kabaligtaran.

pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex

Isaalang-alang natin ang mga indibidwal na pag-aari nang mas detalyado:

  • Logarithmic zero. Isang pag-aari sa elementarya na dapat tandaan. Anuman ang batayan ng logarithm, kung ang argumento ay 1, kung gayon ang logarithm ay laging 0.
  • Yunit ng Logarithmic. Isa pang simpleng pag-aari: kung ang argumento at ang base ng logarithm ay pareho, kung gayon ang halaga ng logarithm ay magiging katumbas ng isa.
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
  • Pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic. Mahusay na pag-aari na ginawang pangunahing batayan ang isang apat na palapag na expression. Ang kakanyahan ng pormulang ito: ang batayang a, na itinaas sa lakas ng logarithm na may batayang a, ay katumbas ng b.
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
  • Kabuuan ng mga logarithm. Kapag nagpaparami ng mga numero ng logarithm, maaari mong gawin sa kanila ang kabuuan ng 2 logarithms, na magkakaroon ng parehong base. At sa gayon ang hindi mabilang na logarithms ay naging simple.
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
  • Logarithm ng quient. Dito ang sitwasyon ay katulad ng kabuuan ng mga logarithms. Kapag naghahati ng mga numero, nakukuha namin ang pagkakaiba ng dalawang logarithms na may parehong base.
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
Advertising
Advertising
Hindi lahat ng mag-aaral ay kayang gumastos ng isang sem sa isang unibersidad 100 000 ₽ ... Ngunit ang cool na mayroong mga gawad mag-aral. Grant-na-vuz.rf ito ay ang pagkakataong makapag-aral sa nais na specialty. Link lahat tatanggap ng bonus mula sa 300 ₽ dati pa 100 000 ₽ bigyan-sa-unibersidad.rf
  • Inaalis ang exponent mula sa logarithm. Hanggang 3 mga panuntunan ang nalalapat dito. Ito ay simple: kung ang degree ay nasa base o argument ng logarithm, maaari itong ilipat sa labas ng logarithm, alinsunod sa mga formula na ito:
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex
  • Mga formula para sa paglipat sa isang bagong base. Kailangan ang mga ito para sa mga expression na may logarithms, na may magkakaibang mga base. Ang mga nasabing pormula ay pangunahing ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic at mga equation.
pinagmulan: Yandex
pinagmulan: Yandex

Nalalapat ang pangalawang pag-aari kapag ang argumento at base ng logarithm ay napalitan, at ang logarithm ay inilipat sa denominator.

Advertising
Advertising
Pinapaalala namin sa iyo ang tungkol sa serbisyo bigyan-sa-unibersidad.rf ... Huwag palampasin ang iyong pagkakataon upang malaman kung ano ang gusto mo. Sa gayon, o makatipid lamang ng pera sa paaralan. Makakakuha ka talaga mula sa 300 ₽ dati pa 100 000 ₽, sa pamamagitan ng pag-click sa link bigyan-sa-unibersidad.rf !

Sinuri namin ang pangunahing mga katangian ng logarithms. Ngayon walang pagkakapantay-pantay o equation ay mananatiling hindi malulutas;)

Salamat sa pagbabasa ng artikulo. Huwag kalimutan ang tungkol sa pag-subscribe sa channel, at inirerekumenda ko ring basahin ang channel ng aming mga kaibigan:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - ang pinakabagong mga nakamit na pang-agham at ang pinakamahusay na kasanayan sa pang-edukasyon.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - EUROPEAN HIGHER EDUCATION. Isang internasyonal na kumpanya na nagbibigay ng mga serbisyo sa pagkonsulta, kasamang at impormasyon sa larangan ng mas mataas na edukasyon sa Europa. Opisyal na site - https://eurounis.com .
Magandang araw at huwag magkasakit.

Добавить комментарий