Logaritmalar

Logaritmalar

Denklem 2 ile üstel denklemler üzerine bir önceki makalemize başladık x= 8. Orada her şey açıktı: x = 3.

Şimdi denklem 2'yi düşünün x= 7.

Y = 2 fonksiyonunun grafiğine göre xbu denklemin bir kökü olduğunu ve dahası, tek denklemin olduğunu görüyoruz.

Bu kökün bir tamsayı olmadığı açıktır (2'den beri 2= 4, 2 3= 8). Dahası, rasyonel bir sayı bile olmadığı, yani sıradan bir kesir olarak temsil edilemeyeceği ortaya çıkıyor. Sezgisel olarak, sadece 3'ten küçük olduğunu hissediyoruz, ama çok değil.

Bu kök, günlük olarak gösterilir 27 (okur: "yediden ikinci tabana logaritma." Bu irrasyonel bir sayıdır, yani sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirdir. Hesap makinesi şunu verir: log 27 = 2.807354922057604107 ...

Yani, numaramız günlük 27, 7'yi elde etmek için 2'nin yükseltilmesi gereken üsdür.

Şimdi logaritmanın genel bir tanımını veriyoruz. A> 0 ve a ≠ 1 olsun (koşullar üstel fonksiyonun tabanı ile aynıdır).

Tanım. Pozitif bir b sayısının a tabanına logaritması (logaritması ile gösterilir ab) b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üsdür.

Diğer bir deyişle,

Örneğin:

Çünkü

, Çünkü

Çünkü ;

, Çünkü .

Logaritma tabanı 10 olarak adlandırılır ondalık ve lg ile gösterilir. Örneğin, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.01 = −2.

E tabanına sahip logaritma denir doğal ve ln ile gösterilir.

Lütfen dikkat: logaritma yalnızca pozitif sayılar için tanımlanmıştır. Bunun nedeni, üstel fonksiyonun yalnızca pozitif değerler alabilmesidir. Örneğin, sayı günlüğü 2(−4) mevcut değil: ne kadar yükseltirsek 2 yükseltir, asla −4 alamayız.

Logaritmanın temelindeki kısıtlamaları da unutmayın: 0 <a <1 veya a> 1.

Temel formüller

Tanıma göre, günlük ab, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken üsdür:

Formül (1) denir temel logaritmik kimlik İşte temel logaritmik kimliği yazmanın başka bir yolu:

günlük aax= x.

Logaritmaların özelliklerini listeleyelim. Güç kurallarının basit sonuçlarıdır. Aşağıdaki tüm logaritmalar kesin kabul edilir.

Ürünün logaritması, logaritmaların toplamıdır:

günlük a(bc) = günlük ab + log ac. (2)

Bölümün logaritması, logaritmalar arasındaki farktır:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Logaritmanın üssü, logaritmanın önüne "atlar":

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(dört)

Logaritmanın tabanının üssü de "atlar", ancak ters sayı biçiminde:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(beş)

Formüller (4) ve (5) birlikte şunları verir:

(6)

Özellikle m = n ise aşağıdaki formülü elde ederiz:

(7)

Örneğin, .

Son olarak, yeni bir temele geçiş için en önemli formül:

(8)

Özellikle, eğer c = b ise, o zaman log bb = 1 ve sonra:

(9)

İşte iş bankasından bazı örnekler. bir. (uygulanan formül (2) logaritmaların toplamı).

2. (temel logaritmik kimliği uyguladı (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(formül (4) 'ü uyguladık.

dört. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(uygulanan formül (9), yeni bir 0.8 tabana geçerek).

beş. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(uygulanan formül (3) logaritma farkı)

Biraz tarih

Artık logaritmanın ne olduğunu ve nasıl kullanılacağını anlıyorsunuz. Ama onlar ne için? Yoksa akıllıca kullanım talimatları olan bir matematik oyuncağı mı?

Bir logaritma ve logaritmik tablo kavramı 17. yüzyılda ortaya çıktı ve bunların önemi çok büyüktü.

Bugünlerde hesaplamalar zor değil - herkesin bir hesap makinesi var. Ve "bilgisayar öncesi" zamanlarda ne düşünüldü?

Abaküse toplama ve çıkarma yapmak mümkündü, ancak "bir sütunda" çoğaltmak ve bölmek yavaş ve zordu.

15-17. Yüzyıllarda, büyük coğrafi keşifler çağında ticaret, ekonomi ve bilim hızla gelişmeye başladı. Matematiğin gereksinimleri büyüdü: hesaplamalar daha karmaşık hale geldi ve doğruluk - örneğin, navigasyon problemlerini çözmek için - gittikçe daha fazla ihtiyaç duyuldu.

Hesaplamaları basitleştirmek ve hızlandırmak için bir araca ihtiyaç vardı ve logaritmalar böyle bir araçtı.

B ve c'nin çarpılması gereken büyük sayılar olduğunu varsayalım. Logaritma tablolarının ortaya çıkışı (örneğin, 10 tabanıyla) bu görevi büyük ölçüde basitleştirmiştir. Şimdi hesap makinesinin tablolardan b ve c sayılarının ondalık logaritmalarını bulması, bunları (abaküste) toplaması ve ürünün logaritmasını elde etmesi yeterliydi: lgb + lgc = lg (bc).

Ve sonra, logaritma tablosunu kullanarak, b ve c sayılarının çarpımını bulun.

Fransız matematikçi ve astronom Laplace'ın, logaritmaların icadının hesap makinelerinin ömrünü uzattığını söylemesine şaşmamalı. Hesap cetveli (mühendislerin yirminci yüzyılın 70'lerine kadar kullandığı) modern hesap makinesinden daha az ilerici bir icat değildi.

Ama hepsi bu kadar değil! Sadece tarihsel, "müze" değeri olsaydı, logaritmalarla uğraşmazdık. Logaritmik fonksiyonla ilgili bir sonraki makalede beklenmedik logaritma uygulamaları hakkında konuşacağız.

Logaritmanın özel kuralları bilinmeden önemli bir logaritmik problem çözülemez. Daha doğrusu, ana özellikler. Neyse ki, bu özelliklerin pek çoğu yok ve bunları öğrenmek zor olmayacak. Ama onları hem soldan sağa hem de ters yönde bilmeniz gerekiyor.

kaynak: Yandex
kaynak: Yandex

Bireysel özellikleri daha ayrıntılı olarak ele alalım:

  • Logaritmik sıfır. Hatırlanması gereken temel bir özellik. Logaritmanın tabanı ne olursa olsun, bağımsız değişken 1 ise, logaritma her zaman 0'dır.
  • Logaritmik birim. Başka bir basit özellik: logaritmanın argümanı ve tabanı aynıysa, logaritmanın değeri bire eşit olacaktır.
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
  • Temel logaritmik kimlik. Dört katlı bir ifadeyi çok basit bir ifadeye dönüştüren mükemmel özellik b. Bu formülün özü: a tabanı ile logaritmanın kuvvetine yükseltilen a tabanı, b'ye eşit olacaktır.
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
  • Logaritmaların toplamı. Logaritma sayılarını çarparken, bunları aynı tabana sahip olacak 2 logaritmanın toplamı yapabilirsiniz. Ve böylece hesaplanamayan logaritmalar basitleşir.
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
  • Bölümün logaritması. Burada durum logaritmaların toplamına benzer. Sayıları bölerken, aynı tabana sahip iki logaritmanın farkını elde ederiz.
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
Reklâm
Reklâm
Her öğrencinin üniversitede bir dönem geçirmeye gücü yetmez 100000 ₽ ... Ama olması harika hibe çalışmak. Grant-na-vuz.rf bu İstenilen uzmanlıkta çalışma fırsatı. Bağlantı herkes bir bonus alacak 300 ₽ önce 100000 ₽ Grant-at-university.rf
  • Üssün logaritmadan çıkarılması. Burada en çok 3 kural geçerlidir. Çok basit: Eğer derece logaritmanın tabanında veya bağımsız değişkeninde ise, bu formüllere göre logaritmanın dışına taşınabilir:
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex
  • Yeni bir üsse geçiş için formüller. Farklı tabanlara sahip logaritmalı ifadeler için gereklidirler. Bu tür formüller esas olarak logaritmik eşitsizlikleri ve denklemleri çözmek için kullanılır.
kaynak: Yandex
kaynak: Yandex

İkinci özellik, logaritmanın argümanı ve tabanı değiştirildiğinde ve logaritma paydaya aktarıldığında geçerlidir.

Reklâm
Reklâm
Size hizmeti hatırlatıyoruz Grant-at-university.rf ... Neyi sevdiğinizi öğrenme şansınızı kaçırmayın. Ya da sadece okuldan tasarruf edin. Kesinlikle alacaksın itibaren 300 ₽ önce 100000 ₽, bağlantıya tıklayarak Grant-at-university.rf !

Logaritmaların temel özelliklerini analiz ettik. Artık hiçbir eşitsizlik veya denklem çözülmeden kalmayacak;)

Makaleyi okuduğunuz için teşekkürler. Kanala abone olmayı unutmayın, ayrıca arkadaşlarımızın kanalını da okumanızı tavsiye ederim:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - en son bilimsel başarılar ve en iyi eğitim uygulamaları.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - AVRUPA YÜKSEK ÖĞRETİM. Avrupa'da yüksek öğrenim alanında danışmanlık, refakat ve bilgi hizmetleri sunan uluslararası bir şirket. Resmi site - https://eurounis.com .
İyi günler ve hastalanma.

Добавить комментарий