Logarit

Logarit

Chúng tôi đã bắt đầu bài viết trước của chúng tôi về phương trình mũ với phương trình 2 x= 8. Mọi thứ đều rõ ràng ở đó: x = 3.

Bây giờ hãy xem xét phương trình 2 x= 7.

Theo đồ thị của hàm số y = 2 xchúng ta thấy rằng phương trình này có một căn và hơn nữa, là một căn duy nhất.

Rõ ràng rằng gốc này không phải là một số nguyên (vì 2 2= 4, 2 3= 8). Hơn nữa, nó chỉ ra rằng nó thậm chí không phải là một số hữu tỉ, tức là, nó không thể được biểu diễn dưới dạng một phân số bình thường. Bằng trực giác, chúng ta chỉ cảm thấy rằng nó nhỏ hơn 3, nhưng không nhiều.

Gốc này được ký hiệu là nhật ký 27 (đọc: “logarit của bảy đến cơ số hai.” Nó là một số vô tỉ, nghĩa là, một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Máy tính cho: log 27 = 2,807354922057604107 ...

Vì vậy, số của chúng tôi là nhật ký 27 là số mũ mà 2 phải được nâng lên để có 7.

Bây giờ chúng ta đưa ra một định nghĩa chung về lôgarit. Cho a> 0 và a ≠ 1 (các điều kiện giống như đối với cơ sở của hàm số mũ).

Định nghĩa. Lôgarit của một số dương b với cơ số a (ký hiệu là log ab) là số mũ mà a phải được nâng lên để nhận được b.

Nói cách khác,

Ví dụ:

bởi vì

, bởi vì

bởi vì ;

, bởi vì .

Logarit cơ số 10 được gọi là thập phân và được ký hiệu là lg. Ví dụ, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Lôgarit với cơ số e được gọi là tự nhiên và được ký hiệu là ln.

Xin lưu ý: logarit chỉ được xác định cho các số dương. Nguyên nhân là do hàm mũ chỉ có thể nhận giá trị dương. Ví dụ, nhật ký số 2(−4) không tồn tại: cho dù chúng ta nâng 2 lên bao nhiêu, chúng ta sẽ không bao giờ nhận được −4.

Cũng đừng quên về các hạn chế đối với cơ số của lôgarit: 0 <a <1 hoặc a> 1.

Công thức cơ bản

Theo định nghĩa, nhật ký ab là số mũ mà số a phải nâng lên để được số b:

Công thức (1) được gọi là nhận dạng lôgarit cơ bản Đây là một cách khác để viết nhận dạng lôgarit cơ bản:

khúc gỗ aax= x.

Hãy để chúng tôi liệt kê các thuộc tính của logarit. Chúng là những hệ quả đơn giản của các quy tắc quyền lực. Tất cả các logarit dưới đây được coi là xác định.

Lôgarit của tích là tổng của các lôgarit:

khúc gỗ a(bc) = log ab + nhật ký ac. (2)

Lôgarit của thương là hiệu giữa các lôgarit:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

Số mũ của lôgarit "nhảy" trước lôgarit:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(bốn)

Số mũ của cơ số của lôgarit cũng "nhảy", nhưng ở dạng một số nghịch đảo:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(số năm)

Công thức (4) và (5) cùng nhau đưa ra:

(6)

Đặc biệt, nếu m = n, chúng ta có công thức:

(7)

Ví dụ, .

Cuối cùng, công thức quan trọng nhất để chuyển đổi sang một nền tảng mới:

(số 8)

Đặc biệt, nếu c = b, thì log bb = 1, và sau đó:

(9)

Dưới đây là một số ví dụ từ ngân hàng việc làm. một. (áp dụng công thức (2) tổng của logarit).

2. (áp dụng nhận dạng lôgarit cơ bản (1))

3. log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 = (log _ {\ sqrt {7}} 49) ^ {2} = (log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2}) ^ { 2} = (2log _ {\ sqrt {7}} 7) ^ {2} = (2 \ cdot 2) ^ {2} = 16(chúng tôi đã áp dụng công thức (4).

bốn. log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} = - 1(áp dụng công thức (9), chuyển sang cơ số mới 0,8).

số năm. \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(áp dụng công thức (3) sự khác biệt của logarit)

Một chút về lịch sử

Bây giờ bạn đã hiểu logarit là gì và cách sử dụng chúng. Nhưng chúng để làm gì? Hay nó chỉ là một món đồ chơi toán học với những hướng dẫn sử dụng thông minh?

Khái niệm về lôgarit và bảng lôgarit xuất hiện vào thế kỷ 17, và ý nghĩa của chúng là rất lớn.

Ngày nay, các phép tính không khó - mọi người đều có máy tính. Và những gì được coi là trong thời "tiền máy tính"?

Có thể cộng và trừ trên bàn tính, nhưng để nhân và chia "trong một cột" rất chậm và khó khăn.

Vào thế kỷ 15-17, trong thời đại của những khám phá địa lý vĩ đại, thương mại, kinh tế và khoa học bắt đầu phát triển nhanh chóng. Yêu cầu đối với toán học ngày càng tăng: các phép tính ngày càng phức tạp và độ chính xác - ví dụ, để giải các bài toán điều hướng - ngày càng cần cao hơn.

Cần có một công cụ để đơn giản hóa và tăng tốc độ tính toán, và logarit là một công cụ như vậy.

Giả sử b và c là các số lớn cần nhân. Sự ra đời của bảng logarit (ví dụ, với cơ số 10) đã đơn giản hóa công việc này rất nhiều. Bây giờ máy tính đã đủ để tìm logarit thập phân của các số b và c từ các bảng, cộng chúng (trên bàn tính) và nhận được logarit của tích: lgb + lgc = lg (bc).

Và sau đó, sử dụng bảng logarit, hãy tìm tích của các số b và c.

Không có gì ngạc nhiên khi nhà toán học và thiên văn học người Pháp Laplace nói rằng việc phát minh ra logarit đã kéo dài tuổi thọ của máy tính. Quy tắc trượt (mà các kỹ sư sử dụng cho đến những năm 70 của thế kỷ XX) là phát minh tiến bộ không kém máy tính hiện đại.

Nhưng đó không phải là tất cả! Chúng tôi sẽ không xử lý logarit nếu chúng chỉ có giá trị lịch sử, "bảo tàng". Chúng ta sẽ nói về những ứng dụng bất ngờ của logarit trong phần tiếp theo về hàm logarit.

Bất kỳ bài toán logarit quan trọng nào đều không thể giải được nếu không biết các quy tắc đặc biệt của logarit. Hay nói đúng hơn là các thuộc tính chính. May mắn thay, không có nhiều thuộc tính này và sẽ không khó để tìm hiểu chúng. Nhưng bạn cần biết cả hai từ trái sang phải và theo hướng ngược lại.

nguồn: Yandex
nguồn: Yandex

Hãy xem xét các thuộc tính riêng lẻ chi tiết hơn:

  • Số không lôgarit. Một thuộc tính cơ bản phải được ghi nhớ. Bất kể cơ số nào của logarit, nếu đối số là 1, thì logarit luôn là 0.
  • Đơn vị lôgarit. Một tính chất đơn giản khác: nếu đối số và cơ số của lôgarit giống nhau, thì giá trị của lôgarit sẽ bằng một.
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
  • Nhận dạng lôgarit cơ bản. Tính chất tuyệt vời biến biểu thức bốn tầng thành rất cơ bản b. Bản chất của công thức này: cơ số a, được nâng lên lũy thừa của lôgarit với cơ số a, sẽ bằng b.
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
  • Tổng lôgarit. Khi nhân các số logarit, bạn có thể biến chúng thành tổng của 2 logarit, sẽ có cùng cơ số. Và do đó, logarit không tính toán được trở nên đơn giản.
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
  • Lôgarit của thương số. Ở đây tình huống tương tự như tổng của logarit. Khi chia số, chúng ta nhận được hiệu của hai lôgarit có cùng cơ số.
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
Quảng cáo
Quảng cáo
Không phải sinh viên nào cũng có đủ khả năng để dành một học kỳ tại trường đại học 100 000 ₽ ... Nhưng thật tuyệt khi có trợ cấp học. Grant-na-vuz.rf đây là cơ hội học tập chuyên ngành mong muốn. Liên kết mọi người sẽ nhận được tiền thưởng từ 300 ₽ trước 100 000 ₽ Grant-at-university.rf
  • Loại bỏ số mũ khỏi lôgarit. Có đến 3 quy tắc áp dụng ở đây. Thật đơn giản: nếu bậc ở cơ số hoặc đối số của lôgarit, thì nó có thể được di chuyển ra ngoài lôgarit, theo các công thức sau:
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex
  • Công thức chuyển đổi sang cơ sở mới. Chúng cần thiết cho các biểu thức có logarit, có các cơ số khác nhau. Các công thức này chủ yếu được sử dụng để giải các phương trình và bất phương trình logarit.
nguồn: Yandex
nguồn: Yandex

Thuộc tính thứ hai áp dụng khi đối số và cơ số của lôgarit được hoán đổi, và lôgarit được chuyển sang mẫu số.

Quảng cáo
Quảng cáo
Chúng tôi nhắc bạn về dịch vụ Grant-at-university.rf ... Đừng bỏ lỡ cơ hội học những gì bạn thích. Hay là tiết kiệm tiền đi học. Bạn chắc chắn sẽ nhận được từ 300 ₽ trước 100 000 ₽, bằng cách nhấp vào liên kết Grant-at-university.rf !

Chúng tôi đã đề cập đến các tính chất cơ bản của logarit. Bây giờ không một bất phương trình hoặc phương trình nào sẽ vẫn chưa được giải;)

Cảm ơn vì đã đọc bài viết. Các bạn đừng quên đăng ký kênh nhé và mình cũng khuyên các bạn nên đọc kênh của chúng ta:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac - các thành tựu khoa học mới nhất và các phương pháp giáo dục tốt nhất.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 - GIÁO DỤC CAO HƠN CHÂU ÂU. Một công ty quốc tế cung cấp dịch vụ tư vấn, đồng hành và thông tin trong lĩnh vực giáo dục đại học ở Châu Âu. Trang điện tử chính thức - https://eurounis.com .
Chúc một ngày tốt lành và không bị ốm.

Добавить комментарий