对数

对数

我们从上一篇关于方程式2的指数方程式开始 x=8。那里一切都清楚了:x = 3。

现在考虑方程2 x= 7。

根据函数y = 2的图 x我们看到这个方程式有一个根,而且只有一个。

显然,此根不是整数(因为2 2= 4、2 3= 8)。而且,事实证明,它甚至不是一个有理数,即它不能表示为普通分数。凭直觉,我们只觉得它小于3,但是不多。

该根表示为log 27(读取:“对数以2为底。”这是一个无理数,即一个无限的非周期小数。计算器给出:log 27 = 2.807354922057604107 ...

所以我们的数字是对数 27是必须加2才能得到7的指数。

现在我们给出对数的一般定义。令a> 0和a≠1(条件与指数函数的基数相同)。

定义。以a为底的正数b的对数(以log表示) ab)是获得b所必须提高的指数。

换一种说法,

例如:

因为

, 因为

因为 ;

, 因为 .

以10为底的对数 小数 并用lg表示。例如,lg 100 = 2,lg 1000 = 3,lg 0.01 = -2。

以e为底的对数称为 有天赋的人 并用ln表示。

请注意:对数仅适用于正数。原因是指数函数只能取正值。例如,数字日志 2(−4)不存在:无论我们提高2的度数,我们都永远不会得到-4。

不要忘记对数底数的限制:0 <a<1或a>1。

基本公式

根据定义,日志 ab是必须将数字a提高到数字b的指数:

公式(1)称为 基本对数恒等式 这是写基本对数标识的另一种方法:

日志 aax= x。

让我们列出对数的属性。它们是权力规则的简单后果。以下所有对数均视为确定的。

乘积的对数是对数的总和:

日志 a(bc)=日志 ab +日志 aC。 (2)

商的对数是对数之间的差:

log_ {a} \ frac {b} {c} = log_ {a} b-log_ {a} c(3)

对数在对数前“跳”的指数:

log_ {a} b ^ {m} = mlog_ {a} b(四)

对数底数的指数也“跳跃”,但以反数形式:

log_ {a ^ {n}} b = \ frac {1} {n} log_ {a} b(五)

公式(4)和(5)一起得出:

(6)

特别地,如果m = n,我们得到公式:

(7)

例如, .

最后,过渡到新基础的最重要公式:

(8)

特别是,如果c = b,则登录 bb = 1,然后:

(9)

这是求职银行的一些例子。 一。 (应用公式(2)是对数之和)。

2。 (适用基本对数标识(1))

3。 log ^ {2} _ {\ sqrt {7}} 49 =(log _ {\ sqrt {7}} 49)^ {2} =(log _ {\ sqrt {7}} 7 ^ {2})^ { 2} =(2log _ {\ sqrt {7}} 7)^ {2} =(2 \ cdot 2)^ {2} = 16(应用公式(4)。

四。 log_ {0.8} 3 \ cdot log_ {3} 1.25 = log_ {0.8} 3 \ cdot \ frac {log_ {0.8} 1.25} {log_ {0.8} 3} = log_ {0.8} 1.25 = log _ {\ frac {4 } {5}} \ frac {5} {4} =-1(应用公式(9),传递至新的基数0.8)。

五。 \ frac {9 ^ {log_ {5} 50}} {9 ^ {log_ {5} 2}} = 9 ^ {log_ {5} 50-log_ {5} 2} = 9 ^ {log_ {5} 25} = 9 ^ {2} = 81(适用公式(3)的对数差)

一点历史

现在您了解了什么是对数以及如何使用它们。但是他们是干什么的呢?还是仅仅是带有巧妙使用说明的数学玩具?

对数和对数表的概念出现在17世纪,其重要性是巨大的。

如今,计算并不困难-每个人都有一个计算器。在“计算机前”时代被认为是什么?

可以在算盘上进行加减,但是“在一列中”进行乘除除既缓慢又困难。

在15至17世纪,在巨大的地理发现时代,贸易,经济学和科学开始迅速发展。对数学的要求越来越高:计算变得更加复杂,并且越来越需要精度(例如,用于解决导航问题的精度)。

需要一个工具来简化和加速计算,对数就是这样的工具。

假设b和c是需要相乘的大数。对数表的出现(例如,以10为底)极大地简化了此任务。现在,计算器从表中找到数字b和c的十进制对数,将它们相加(在算盘上)并得到乘积的对数就足够了:lgb + lgc = lg(bc)。

然后,使用对数表找到数字b和c的乘积。

难怪法国数学家和天文学家拉普拉斯说对数的发明延长了计算器的寿命。计算尺(工程师一直使用到20世纪70年代)与现代计算器一样,都是进步的发明。

但这还不是全部!如果对数仅具有历史的“博物馆”价值,我们将不予处理。在下一篇关于对数函数的文章中,我们将讨论对数的意外应用。

在不知道对数的特殊规则的情况下,任何重要的对数问题都无法解决。或更确切地说,主要属性。幸运的是,这些属性并不多,学习它们也不难。但是您需要从左到右以及相反的方向都知道它们。

资料来源:Yandex
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让我们更详细地考虑各个属性:

  • 对数零。 必须记住的基本属性。无论对数的底数是多少,如果参数为1,则对数始终为0。
  • 对数单位。 另一个简单的属性:如果参数和对数的底数相同,则对数的值将等于1。
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  • 基本对数标识。 出色的性能,可以将四层楼的表情变成非常基本的b。该公式的实质:以a为底的对数乘方的底数a等于b。
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  • 对数之和。 将对数相乘时,可以使它们成为2个对数之和,它们的底数相同。因此,无法计算的对数变得简单。
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  • 商的对数。 这里的情况类似于对数之和。在对数字进行除法时,我们得到了具有相同底数的两个对数之差。
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  • 从对数中删除指数。 这里有多达3条规则适用。很简单:如果度是对数的底数或自变量,则可以根据以下公式将其移到对数之外:
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  • 过渡到新基地的公式。 对于具有不同底数的对数表达式,它们是必需的。这些公式主要用于求解对数不等式和方程。
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当交换对数的自变量和底数,并且将对数转移到分母时,将应用第二个属性。

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我们已经介绍了对数的基本属性。现在,不会有任何一个不等式或方程式无法解决;)

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